Statik · Schwerpunkt
Voraussetzung: Die theoretischen Grundlagen entwickeln Kräftemittelpunkt, verteilte Lasten, Flächenschwerpunkt und das Tabellenverfahren an der Fußplatte des Kranständers.
Theoretische Grundlagen öffnen →Rechne jede Aufgabe zuerst klassisch auf dem Blatt: Fläche in Teilflächen zerlegen, Tabelle anlegen, Summen bilden. Die Teilschritte auf dieser Seite sind deine Kontrolle — Zeile für Zeile.
Aufgabe 1 · Konzeptcheck
Was gilt für die Flächenmomente erster Ordnung bezüglich einer Schwerachse?
Legt man den Ursprung in den Schwerpunkt, werden und null — und damit auch die statischen Momente und . Das ist die knappste Kennzeichnung einer Schwerachse.
Eine quadratische Platte hat eine kreisrunde Bohrung. Wie geht die Bohrung in die Schwerpunktsrechnung ein?
Ausschnitte werden als „negative" Flächen angesehen — mit Flächeninhalt und Schwerpunktskoordinaten, nur eben mit Minuszeichen in beiden Spalten der Tabelle. Ohne die Koordinaten wüsste die Rechnung nicht, wo das Material fehlt.
Ordne jeder Fläche die Lage ihres Schwerpunkts zu.
Im Schnittpunkt der beiden Symmetrieachsen
Auf einem Drittel der Höhe über der Grundseite
Außerhalb des Materials, in der Kerbe
Nicht auf der Linie, zwischen Bogen und Sehne
Beim Rechteck schneiden sich zwei Symmetrieachsen — dort liegt S. Beim Dreieck liegt er auf einem Drittel der Höhe. Beim L-Profil fällt er in die Kerbe und damit ins Freie, beim Halbkreisbogen zwischen Bogen und Sehne. Die letzten beiden zeigen: Der Schwerpunkt ist ein Rechenpunkt, kein Materialpunkt.
Fazit: eine Formel, drei Anwendungen
Kräfte, Flächen, Linien — immer dieselbe Struktur: Summe der Produkte geteilt durch die Summe der Gewichte. Die nächsten beiden Aufgaben führen sie an Profilen und an einer Fläche mit Ausschnitt durch.
Aufgabe 2 · Z-Profil
Ein Profil ist aus drei Rechtecken zusammengesetzt (alle Maße in mm): Untergurt , darauf mittig ein Steg , darauf ein Obergurt . Der Ursprung liegt in der linken unteren Ecke.
Hier ist gar keine Rechnung nötig: Das Profil hat eine senkrechte Symmetrieachse bei , und Symmetrieachsen sind Schwerachsen. Also .
Auch das war vorhersehbar: Ober- und Untergurt sind gleich groß und liegen symmetrisch zur Höhe 70 mm — das Profil hat also zwei Symmetrieachsen, und der Schwerpunkt liegt in ihrem Schnittpunkt.
Statisches Moment des Profils bezüglich der x-Achse, symbolisch aus Fläche und Schwerpunktshöhe.
Erlaubte Symbole: A, ys
Schreibhilfe: * für Produkte.
Aus folgt unmittelbar . Die Dimension Länge hoch drei ist eine gute Kontrolle.
Suche zuerst nach Symmetrieachsen — jede gefundene spart dir eine ganze Koordinate.
Für brauchst du je Rechteck seine Fläche und die Höhe seiner Mitte: 10, 70 und 130 mm.
Fazit: Symmetrie zuerst
Bei diesem Profil war beides ohne Tabelle zu sehen. Wer vor dem Rechnen nach Symmetrieachsen sucht, spart bei zusammengesetzten Querschnitten oft die halbe Arbeit — und macht die Hälfte der möglichen Fehler nicht.
Aufgabe 3 · Blech mit Ausschnitt
Aus einem quadratischen Blech der Seitenlänge wird in der Ecke oben rechts ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten herausgeschnitten. Der Ursprung liegt in der linken unteren Ecke.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt auf einem Drittel der Höhe über jeder Grundseite. Vom rechten Rand aus gemessen sind das , also .
Das volle Quadrat hätte ; der Ausschnitt zieht den Schwerpunkt um knapp 10 mm nach links — von sich weg.
Was gilt für dieser Restfläche?
Die Restfläche ist symmetrisch zur Diagonalen durch den Ursprung: Quadrat und Ausschnitt liegen beide symmetrisch dazu. Die Diagonale ist damit eine Schwerachse, und es gilt — ohne zweite Rechnung.
Führe zwei Zeilen: das volle Quadrat positiv, das Dreieck negativ.
Der Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf je einem Drittel der Katheten — gemessen vom rechten Winkel aus.
Prüfe am Schluss die Richtung: Der Ausschnitt muss den Schwerpunkt von sich weg ziehen.
Fazit: negativ rechnen, positiv denken
Ausschnitte erfordern keine neue Formel, nur ein Vorzeichen. Und wie in Aufgabe 2 lohnt der Blick auf die Symmetrie: Die Diagonale hat hier die halbe Rechnung erspart.
Protokoll
Der Bearbeitungsstand aller drei Aufgaben wird als PDF-Protokoll mit Verifikations-Token exportiert — prüfbar über die Protokoll-Verifizierung der Plattform.
| Aufgabe | Status |
|---|---|
| Aufgabe 1: Konzeptcheck | Offen |
| Aufgabe 2: Z-Profil | Offen |
| Aufgabe 3: Blech mit Ausschnitt | Offen |