Statik · Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Die Wandkonsole — zwei Stäbe tragen eine Last

Die Konsole ist hier die gesamte Wandhalterung aus beiden Stäben. Rechts hängt eine Last am Knoten einer Wandkonsole: Stab 1 läuft waagerecht zur Wand, Stab 2 stützt schräg unter dem Winkel nach unten ab. Beide Stäbe sind an ihren Enden gelenkig angeschlossen und nur dort belastet — ein solcher Stab heißt Zweikraftglied und kann nur Kräfte längs seiner Achse übertragen: Zug oder Druck, nichts anderes. Diese Kraft gibt er unverändert von einem Ende zum anderen weiter.

Konstruiert wird die Konsole über ihre Maße: die Ausladung — wie weit der Knoten von der Wand absteht — und den senkrechten Abstand der beiden Wandanschlüsse. Der Winkel ist dann kein Wunschwert mehr, sondern ein Ergebnis der Geometrie:

Verstelle , und mit den Reglern: Die Maßketten in der Ansicht rechts wandern mit, und die Zelle zeigt, welcher Winkel dabei herauskommt. Die Werte-Box nennt auch die beiden Stabkräfte — als Messwerte zum Ausprobieren; hergeleitet werden sie in Kapitel 05.

Der Schnitt macht die Kräfte sichtbar

Jetzt folgt der wichtigste Schritt der Statik: Freischneiden. Wer freischneidet, trennt ein Stück aus dem Tragwerk heraus und ersetzt jede durchtrennte Verbindung durch die Kraft, die sie überträgt — vorher unsichtbare innere Kräfte werden zu äußeren Kräften am herausgetrennten Teil.

Wo geschnitten wird, ist dabei eine Entscheidung, und sie bestimmt alles Weitere: An jeder Schnittstelle erscheint genau die Kraft, die das weggeschnittene Teil auf das verbleibende ausübt. Ein Schnitt, in dem die gesuchten Größen gar nicht vorkommen, hilft nicht weiter — welche Stelle für die Frage nach den beiden Stabkräften die richtige ist, entscheidest du gleich selbst.

Mitmach-Aufgabe: Übe den Knotenfreischnitt an der Wandkonsole in der Ansicht rechts. Wähle den Punkt, an dem beide Stabkräfte und die Last eine zentrale Kräftegruppe bilden. Trenne diesen Knoten von beiden Stäben und der Lastaufhängung und zeichne die drei Kräfte ein. Ein vollständiger Freischnitt an den Wandanschlüssen ist ebenfalls ein möglicher Ansatz; hier üben wir gezielt den Knotenfreischnitt. Bei den Stabkräften ist der Richtungssinn frei: Du kannst sie als Zug (vom Knoten weg) oder als Druck (zum Knoten hin) ansetzen — nur auf der Stabachse müssen sie liegen. Welche Annahme zutraf, verrät später das Vorzeichen. Festgelegt ist allein die Last.

Vereinbarung ab hier: Üblich ist die Zugannahme — man setzt Stabkräfte als Zug an, die Pfeile zeigen also vom Schnittpunkt weg. Zwingend ist das nicht; die Annahme muss nur konsequent durchgehalten werden. Kommt ein negativer Wert heraus, wirkt die Kraft entgegen der Annahme: Der Stab drückt. Die Ansicht rechts rechnet von nun an mit dieser Vereinbarung.

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

Am freigeschnittenen Knoten greifen jetzt drei Kräfte an. Nimm zwei davon heraus — die Last und die Stabkraft : Welche eine Kraft könnte beide ersetzen?

Die Antwort gibt der Satz vom Parallelogramm der Kräfte: Greifen an einem Punkt zwei Kräfte und an, lassen sie sich durch eine einzige Kraft gleichwertig ersetzen. Die Resultierende ergibt sich in Größe und Richtung als Diagonale des von und aufgespannten Parallelogramms. Diese Bestimmung der Resultierenden heißt auch Reduktion — die Kräftegruppe wird auf eine einzige äquivalente Kraft reduziert.

Zeichnerisch genügt das halbe Parallelogramm, also ein Kräftedreieck. Dabei geht zwar verloren, dass die Wirkungslinien durch einen Punkt laufen — dafür lässt sich die Konstruktion auf beliebig viele Kräfte ausdehnen: Im Kräfteplan werden die Kräfte in beliebiger Reihenfolge aneinandergefügt, und zeigt vom Anfangspunkt zum Endpunkt dieses Kräftepolygons (Kraftecks).

Analytisch löst man die Aufgabe an einer Skizze des Kräftedreiecks. Bekannt sind die Beträge , und der Winkel zwischen ihnen; der Kosinussatz liefert den Betrag der Resultierenden, der Sinussatz den Winkel ihrer Wirkungslinie gegenüber . Achtung auf die Bezeichnungen: ist der Winkel zwischen zwei Kräften — bleibt in diesem Modul die Neigung von Stab 2. Im Lehrbuch steht an dieser Stelle , weil dort kein Tragwerk daneben liegt:

Bei vielen Kräften rechnet man, statt zu zeichnen: Alle x-Anteile und alle y-Anteile werden getrennt addiert, und aus den beiden Summen folgen Betrag und Richtung der Resultierenden.

Zerlegung von Kräften, Komponentendarstellung

Ähnlich wie man Kräfte zusammensetzen kann, kann man sie auch zerlegen: Eine Kraft wird durch zwei Kräfte mit vorgegebenen Wirkungslinien ersetzt — man legt dazu durch Anfangs- und Endpunkt je eine der beiden Richtungen. Die beiden Kräfte heißen Komponenten bezüglich dieser Richtungen. Am gebräuchlichsten sind die Richtungen der Koordinatenachsen; die schräge Stabkraft zerlegt sich am Winkel in

Der Kosinus gehört zur Ankathete (waagerecht), der Sinus zur Gegenkathete (senkrecht) — mit welchem Vorzeichen die Anteile in die Bilanz eingehen, folgt aus dem Richtungssinn des Pfeils im Freikörperbild. Die Herleitung unten baut die Zerlegung Schritt für Schritt auf — die Ansicht rechts zeichnet jede Komponente mit, sobald ihre Zeile erscheint. Verstelle danach und beobachte, wie sich die beiden Anteile gegeneinander verschieben.

Gleichgewicht in der Ebene

Eine zentrale Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller Kräfte — also die Resultierende — null ist; eine solche Gruppe heißt Gleichgewichtsgruppe. Geometrisch bedeutet das: Das Krafteck ist geschlossen, Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen. Der Linienzug aus , und schließt sich. Rechts liegt dafür das Gerüst bereit: die Last maßstäblich und die beiden Wirkungslinien aus dem Freikörperbild. Ihre Lage folgt aus der Reihung — die Linie von geht durch die Spitze von , weil dort die nächste Kraft ansetzt, und die von durch den Anfang, weil die Kette dort wieder ankommen muss. Die Herleitung unten füllt beide Linien Zeile für Zeile mit Länge. Rechnerisch ist das Gleichgewicht der zentralen ebenen Kräftegruppe:

Diesen beiden skalaren Gleichgewichtsbedingungen ist die Vektorgleichung äquivalent. Mit ihnen lassen sich höchstens zwei Unbekannte bestimmen — hier genau die zwei Stabkräfte. Solche Probleme heißen statisch bestimmt; treten mehr Unbekannte auf, ist die Aufgabe statisch unbestimmt.

Zentrale Kräftegruppen im Raum

Räumlich kommt eine dritte Richtung dazu — am Prinzip ändert sich nichts. Die Ansicht rechts zeigt denselben Knoten, jetzt von drei Stäben gehalten:

Drei Gleichungen für bis zu drei Unbekannte. Neu ist allein das Zerlegen: Die Merkregel „cos zur Ankathete, sin zur Gegenkathete“ trägt im Raum nicht mehr, weil eine Stabachse nicht mehr durch einen Winkel festgelegt ist. Stattdessen liest man die Richtung an den Koordinaten ab. Zeigt der Stab vom Knoten zum Punkt , so ist der Richtungsvektor, und die Kraft folgt aus ihrem Betrag mal dem Einheitsvektor:

Die drei Faktoren heißen Richtungskosinus — die Kosinus der Winkel zwischen der Kraft und den drei Achsen. Sie sind nicht unabhängig voneinander, sondern erfüllen stets

Damit ist der Weg derselbe wie in der Ebene: freischneiden, jede Kraft über ihren Einheitsvektor in Komponenten zerlegen, komponentenweise bilanzieren, auflösen. Übungsblatt 2 der Vorlesung trainiert genau diesen Fall.