Statik · Schwerpunkt

Die Fußplatte des Kranständers

Rechts liegt ein L-förmiges Blech konstanter Dicke: ein waagerechter Schenkel, darauf ein senkrechter, und im waagerechten eine runde Kabeldurchführung. Die Frage des Kapitels lautet: In welchem Punkt darf man sich das gesamte Gewicht dieser Platte konzentriert denken, ohne dass sich die statische Wirkung ändert?

Verstelle die Bohrung und die Schenkellängen mit den Reglern. Das Fadenkreuz in der Ansicht wandert mit — und zwar nicht beliebig, sondern nach einer Regel, die die nächsten Kapitel entwickeln.

Schwerpunkt einer Gruppe paralleler Kräfte

Der Schwerpunkt ist keine neue Idee, sondern eine Anwendung des vorigen Kapitels. Eine Gruppe paralleler Kräfte lässt sich durch eine einzige Resultierende ersetzen; ihre Richtung ist die der Kräfte, und ihre Lage folgt aus der Äquivalenz der Momente.

Betrachte eine gewichtslose Stange, die von parallelen Einzelkräften belastet und von einer Haltekraft im Gleichgewicht gehalten wird. Aus den beiden Bedingungen

folgt unmittelbar die gesuchte Stelle:

Dieser Punkt heißt im Lehrbuch Kräftemittelpunkt. Räumlich kommt eine zweite Koordinate hinzu, die genauso entsteht — aus der Momentenbedingung um die andere Achse.

Kontinuierlich verteilte Linien- und Flächenlasten

Bis hierher waren es einzelne Kräfte. Eine Streckenlast — Dimension Kraft je Länge — ersetzt man gedanklich durch unendlich viele infinitesimale Einzelkräfte: Auf der Länge wirkt die Einzellast . Aus den Summen werden Integrale:

In der Praxis muss man dafür selten integrieren, denn die Aussage lässt sich merken: Der Betrag der Resultierenden ist die Fläche unter der Lastkurve, und sie greift im Schwerpunkt dieser Fläche an. Für die Gleichstreckenlast heißt das Rechteckfläche und Mitte, für die Dreieckslast halbe Rechteckfläche und ein Drittel beziehungsweise zwei Drittel der Länge.

Die Ansicht rechts zeigt beides — schalte zwischen Rechteck- und Dreieckslast um und beobachte, wie Betrag und Angriffspunkt der Resultierenden springen.

Schwerpunkt und Massenmittelpunkt eines Körpers

Für einen ausgedehnten Körper tritt an die Stelle der Einzelkräfte das Gewicht der Volumenelemente. Mit der Dichte ergibt sich

Analoge Definitionen gelten für den Massenmittelpunkt und den Volumenmittelpunkt. Bei homogenen Körpern ist die Dichte konstant und kürzt sich heraus — dann fallen alle drei Punkte zusammen und es genügt, über das Volumen zu integrieren.

Besteht der Körper aus Teilkörpern mit bekannten Schwerpunkten, braucht man gar kein Integral: Die Summe tritt wieder an die Stelle des Integrals. Genau so rechnet man auch die Fußplatte — nur eben in der Ebene.

Flächenschwerpunkt und Schwerachsen

Die Fußplatte ist eine dünne Scheibe konstanter Dicke. Für sie kürzt sich die Dicke heraus, und aus dem Volumenintegral wird ein Flächenintegral:

Die dabei auftretenden Integrale bekommen einen eigenen Namen: Man nennt sie Flächenmomente erster Ordnung oder statische Momente.

Achtung auf die Indizes: enthält und umgekehrt — benannt wird nach der Achse, auf die sich das Moment bezieht.

Legt man den Ursprung in den Schwerpunkt, werden und null, und damit verschwinden auch die statischen Momente. Achsen durch den Schwerpunkt heißen Schwerachsen, und es gilt der Satz:

Zusammengesetzte Querschnitte und negative Flächen

Besteht eine Fläche aus Teilflächen, deren Schwerpunkte bekannt sind, sind Integrationen nicht erforderlich. An die Stelle der Integrale treten Summen — jede Teilfläche zählt mit ihrem Flächeninhalt als Gewicht:

Und der Kniff des Kapitels: Bei Flächen mit Ausschnitten werden die Ausschnitte als „negative" Flächen angesehen. Die Bohrung der Fußplatte geht also mit ihrem Flächeninhalt und ihrem Schwerpunkt in die Summe ein — nur eben mit Minuszeichen. Man muss nichts anders rechnen, nur ein Vorzeichen setzen.

Die Rechnung führt man am besten als Tabelle: eine Zeile je Teilfläche mit , , und den Produkten. Die Herleitung unten baut diese Tabelle für die Fußplatte Zeile für Zeile auf — die Ansicht rechts hebt dabei jeweils die Teilfläche hervor, um die es geht.

Linienschwerpunkt

Dieselbe Struktur ein drittes Mal: Ersetzt man das Flächenelement durch das Linienelement und die Fläche durch die Länge , erhält man den Linienschwerpunkt:

Bei einer geraden Linie liegt der Schwerpunkt auf ihr in der Mitte; bei einer gekrümmten Linie liegt er im Allgemeinen außerhalb — beim Halbkreisbogen etwa in der Luft zwischen den Enden. Anwendungsfälle sind gebogene Drähte und gekantete Blechstreifen, aber auch die Lage der Resultierenden von Kräften, die längs einer Linie gleichförmig verteilt sind.

Setzt sich die Linie aus Teilstücken bekannter Längen zusammen, gilt wieder die Summenform — mit den Längen als Gewichten:

Damit ist der Schwerpunkt ab jetzt Werkzeug statt Thema: In den folgenden Modulen greift das Eigengewicht eines Bauteils selbstverständlich in ihm an, und die Resultierende einer Streckenlast steht im Schwerpunkt ihrer Lastfläche.