V60 - Linsen

Ein Gegenstand der Höhe G steht vor einer Sammellinse; sein Abstand g von der Linse heißt Gegenstandsweite. Von jedem seiner Punkte geht Licht in alle Richtungen aus; die Linse sammelt es wieder in je einem Punkt — dort entsteht das Bild der Höhe B. Sein Abstand b von der Linse ist die Bildweite. Die Linse hat zwei Brennpunkte F₁ und F₂, beide im Abstand der Brennweite f von ihrer Mitte.

Um das Bild zu finden, genügen drei ausgezeichnete Strahlen — man kann sie ohne Rechnung zeichnen, weil man von jedem weiß, wie er die Linse verlässt:

Abbildung: Strahlengang für g = 140 und f = 84 (willkürliche Einheiten). Die Zeichnung ist maßstäblich — die drei Strahlen treffen sich in einem Punkt.

1. Parallelstrahl: läuft achsenparallel auf die Linse zu und verlässt sie durch den Brennpunkt F₂.
2. Brennpunktstrahl: läuft durch F₁ auf die Linse zu und verlässt sie achsenparallel. Er ist der Parallelstrahl rückwärts — Licht kennt keine Vorzugsrichtung.
3. Mittelpunktstrahl: geht durch die Mitte der Linse und wird dort nicht abgelenkt. Bei der dünnen Linse trifft er Vorder- und Rückseite unter demselben Winkel.

Wo sich die Strahlen schneiden, liegt die Bildspitze. Zwei Strahlen legen den Punkt bereits fest; der dritte ist die Probe.

Was die Zeichnung zeigt

Reell, umgekehrt — und um b/g vergrößert

Das Bild entsteht dort, wo sich echtes Licht trifft — es lässt sich auf einem Schirm auffangen. Genau das tun Sie später im Versuch. Es steht auf dem Kopf, und sein Größenverhältnis lässt sich direkt aus der Zeichnung ablesen: der Mittelpunktstrahl schneidet die Achse in der Linsenmitte, also verhält sich B zu G wie b zu g.

Dieses Verhältnis heißt Abbildungsmaßstab. In der Zeichnung oben beträgt er 210/140 = 1,5 — das Bild ist anderthalbmal so groß wie der Gegenstand.

In der Zeichnung stecken vier rechtwinklige Dreiecke, die paarweise ähnlich sind: Sie haben dieselben Winkel, also auch dieselben Längenverhältnisse. Aus diesen Verhältnissen folgt der Zusammenhang zwischen g, b und f — ganz ohne Messung.

Abbildungsgleichung

Was die Gleichung leistet

Sie verbindet genau die drei Größen, um die es in diesem Versuch geht: die beiden Strecken, die Sie an der optischen Bank messen können, und die Brennweite, die Sie suchen. Kennt man zwei davon, ist die dritte festgelegt.

Ein einzelnes Wertepaar aus g und b liefert damit schon eine Brennweite. Eine Messreihe liefert mehr: Sie mittelt die Streuung heraus und zeigt, ob das Modell der dünnen Linse überhaupt trägt. Wie das geht, steht in den nächsten Kapiteln.

Lichtquelle, Gegenstand, Sammellinse und Schirm sitzen auf einer gemeinsamen optischen Achse. Gegenstand und Schirm bleiben stehen, ihr Abstand e wird vor jeder Messung eingestellt. Verschoben wird nur die Linse, bis das Bild scharf auf dem Schirm steht.

Das gelingt bei zwei verschiedenen Linsenstellungen: einmal steht ein großes, einmal ein kleines Bild auf dem Schirm. Zu jeder Stellung gehört eine eigene Gegenstandsweite, die am Aufbau abgelesen wird.

Abbildung: derselbe Aufbau in beiden Stellungen. Auf dem Schirm steht das Bild der durchgezogenen Stellung; in der gestrichelten entsteht an derselben Stelle ein kleineres. Die Zeichnung ist maßstäblich.

• e — fester Gegenstand–Schirm-Abstand (wird vor jeder Messung eingestellt)
• g₁, b₁ — Gegenstands- und Bildweite in der Stellung mit dem großen Bild
• g₂, b₂ — dieselben Strecken in der Stellung mit dem kleinen Bild

Zwischen Gegenstand und Schirm liegt in beiden Stellungen dieselbe Strecke, sie teilt sich nur anders auf:

Was daran auffällt

Zwei Stellungen, ein Abstand

Vergleichen Sie die beiden Maßketten in der Zeichnung: was in der einen Stellung die Gegenstandsweite ist, ist in der anderen die Bildweite. Das ist kein Zufall, denn Licht kennt keine Vorzugsrichtung, und dieselbe Linse bildet den Weg auch rückwärts scharf ab.

Dass in diesen beiden Stellungen bereits alles steckt, was zur Brennweite führt, ist Thema des nächsten Kapitels.

Die beiden Linsenstellungen aus Kapitel 3 gehören zu einem einzigen Abstand e. Ihr Abstand voneinander heißt d, und mit genau diesen beiden Strecken lässt sich die Brennweite bestimmen — ohne die Gegenstands- und Bildweiten einzeln zu messen.

Abbildung: derselbe Aufbau wie in Kapitel 3, jetzt mit dem Abstand d der beiden scharf abbildenden Linsenstellungen.

Das ist mehr als eine Abkürzung. Gegenstands- und Bildweite werden von der Hauptebene der Linse aus gemessen, und die liegt irgendwo im Glas, nicht an der Skala des Linsenschlittens. Dieser unbekannte Versatz steckt in jeder einzelnen Messung von g und b.

Im Abstand der beiden Stellungen steckt er nicht: d ist eine Differenz zweier Schlittenstellungen, der Versatz hebt sich gegenseitig auf. Und e ist ein fester Abstand zwischen zwei Bauteilen, die sich während der Messung nicht bewegen.

Ihre Aufgabe

Leiten Sie die Beziehung selbst her

Alles, was Sie brauchen, steht schon da: die Linsengleichung aus Kapitel 2 und der feste Abstand aus Kapitel 3.

Gesucht ist die Brennweite, ausgedrückt durch die beiden Größen, die Sie am Aufbau ablesen können. Stift und Papier genügen. Ein Weg dorthin: die Bildweite ersetzen, die Gleichung nach der Gegenstandsweite auflösen und ansehen, was die beiden Lösungen miteinander zu tun haben.

Die drei Kontrollen decken je einen Zwischenschritt auf. Nutzen Sie sie erst, wenn Sie an dieser Stelle nicht weiterkommen.

Kontrolle 1: die quadratische Gleichung

Ersetzt man die Bildweite durch den Rest des festen Abstands, steht in der Linsengleichung nur noch eine Unbekannte. Beide Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert und sortiert:

Kontrolle 2: die beiden Linsenstellungen

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:

Das sind genau die beiden Stellungen aus Kapitel 3. Ihr Abstand ist die Differenz der beiden Lösungen, die halben Abstände heben sich dabei auf:

Kontrolle 3: wann es überhaupt zwei Bilder gibt

Die Wurzel ist nur für einen nichtnegativen Radikanden reell. Daraus folgt eine Bedingung an den eingestellten Abstand:

Ist der Abstand kleiner, steht auf dem Schirm überhaupt kein scharfes Bild. Beim Grenzwert fallen die beiden Stellungen zusammen, ihr Abstand wird also null. Deshalb verlangt der digitale Aufbau einen Mindestabstand, und deshalb misst man mit deutlichem Sicherheitsabstand darüber: nur dann lassen sich die beiden Scharfstellungen sauber trennen.

Kontrolle 4: der letzte Schritt

Der letzte Schritt ist das Auflösen der in Kontrolle 2 gefundenen Gleichung nach f. Mehr bleibt nicht zu tun.

Fertige Formel anzeigen (ohne Herleitung)

Gemessen werden also nur zwei Strecken je Messpunkt: der eingestellte Abstand zwischen Gegenstand und Schirm und der Abstand der beiden Linsenstellungen.

Jede Messung streut. Eine Gerade lässt sich aus streuenden Punkten besonders robust und nachvollziehbar bestimmen — eine gekrümmte Kurve dagegen nur schwer. Deshalb bringt man einen nichtlinearen Zusammenhang durch geschicktes Auftragen in eine geradlinige Form. Die gesuchte Größe steckt danach in der Steigung oder im Achsenabschnitt der Geraden.

Die Linsengleichung aus Kapitel 2 verknüpft g und b nicht linear: Trägt man die Bildweite über der Gegenstandsweite auf, entsteht eine Hyperbel. Die Beispielmessreihe des Prüfstands zeigt es:

Abbildung: Bildweite b über der Gegenstandsweite g für die Linse des Beispieldatensatzes. Je näher der Gegenstand an den Brennpunkt rückt, desto weiter wandert das Bild weg — bei g = f (gestrichelt) verschwindet es im Unendlichen. Eine Gerade lässt sich hier nirgends anlegen. Erst die richtige Umformung der Linsengleichung macht aus dieser Kurve eine Gerade; welche das ist, entscheiden Sie im Versuch selbst.

Die lineare Regression bestimmt diejenige Gerade y = m·x + c, die am besten zu Ihren Messpunkten passt. Steigung m und Achsenabschnitt c haben aber nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn Sie die Achsen aus der Grundgleichung des Versuchs ableiten. Genau diese Wahl treffen Sie selbst.

Stellen Sie am digitalen Aufbau den Abstand e ein, suchen Sie beide Scharfstellungen, nehmen Sie eine Messreihe auf und werten Sie sie mit der linearen Regression aus.

Im Anschluss daran führt Sie ein Knopf direkt zu Station 9, den Leitfragen.

Zeichnung

Der Strahlengang, noch einmal

Aus Kapitel 1 kennen Sie die Zeichnung. Jetzt fehlen die Beschriftungen: Ziehen Sie sie an die richtige Stelle — mit der Maus, per Fingertipp oder indem Sie erst einen Baustein und dann ein Feld antippen.

Ihre Antworten

Fragen zur Auswertung

Linse A — lineare Regression

1. Welche Größen müssen Sie in einem Diagramm gegeneinander auftragen, damit eine lineare Regression durchgeführt werden kann? (Dies ist — neben der gewissenhaften Messung — die entscheidende Aufgabe dieses Teilversuchs.)

2. Wie lässt sich aus den Parametern der linearen Regression (Steigung, Achsenabschnitt) der Wert der Brennweite f bestimmen?

3. Welche Fehlerabschätzung Δf ergibt sich aus den Unsicherheiten von Steigung und/oder Achsenabschnitt für die Brennweite?

Linse B — Besselverfahren

4. Leiten Sie die Beziehung zur Bestimmung der Brennweite einer Linse mit dem Bessel-Verfahren her. Warum muss dabei e > 4f gelten?

5. Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz die Beziehung für den Fehler der Brennweite. Was sind dabei die eigentlichen Messgrößen?

Ihre Antworten werden lokal gespeichert und beim Export in Ihr Protokoll der Vorbereitung übernommen. Es gibt keine automatische Bewertung — diskutieren Sie Ihre Überlegungen im Labor und im Kolloquium.

Ihr Ergebnis

Die gesuchten Größen berechnen

Zum Schluss die Auswertung zu Ende führen: Dieselbe Messreihe liefert die Brennweite auf zwei Wegen — einmal über die Regressionsparameter, einmal nach dem Bessel-Verfahren direkt aus einer einzelnen Messzeile. Geben Sie beide Beziehungen symbolisch an, rechnen Sie sie mit Ihren eigenen Werten aus und vergleichen Sie die beiden Zahlen.

1. Brennweite f aus der linearen Regression

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   cm

2. Brennweite f nach dem Bessel-Verfahren

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   cm

Auch hier gibt es keine automatische Bewertung. Beides geht in Ihr Protokoll der Vorbereitung ein — damit am Ende nicht nur der Weg, sondern auch das Ergebnis dort steht.