Statik · Balken
Statik · Balken
Was im Träger steckt
Die Lagerreaktionen sagen, was der Kranbahnträger an seinen Enden abgibt. Sie sagen nichts darüber, wie stark er in der Mitte beansprucht wird — und genau danach bemisst man ihn. Dieses Modul schneidet denselben Träger auf und entwickelt die drei Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment: wie man sie aus dem Gleichgewicht bekommt, wie sie über die Länge verlaufen und woran man ihr Maximum erkennt.
Zu den Übungsaufgaben →Löse die Aufgabe dieses Kapitels, um weiterzulesen.
Die Schnittgrößen
Rechts steht der Kranbahnträger aus dem Modul „Lagerreaktionen": Länge , Eigengewicht als Streckenlast , die Laufkatze mit an der Stelle . Die Lagerkräfte kennen wir schon: und .
Jetzt geht es um das Innere. Legt man an einer beliebigen Stelle einen Schnitt und nimmt eine Hälfte weg, muss die verbleibende für sich im Gleichgewicht sein. Was die weggenommene Hälfte vorher übertragen hat, tritt als Schnittgrößen am Schnitt auf:
- die Normalkraft längs der Balkenachse,
- die Querkraft quer dazu,
- das Biegemoment um die Querachse.
Am Kranbahnträger greift keine Kraft längs der Achse an — deshalb ist überall. Es bleiben und , und beide hängen von ab. Zieh die Schnittstelle in der Ansicht rechts einmal über den ganzen Träger.
Die Statik endet hier, die Festigkeitslehre setzt genau hier an: Aus dem Biegemoment und dem Querschnitt folgt die Biegespannung, aus der Querkraft die Schubspannung. Wer den Träger bemessen will, braucht deshalb nicht die Lagerkräfte, sondern das größte Biegemoment und die Stelle, an der es auftritt.
Vorzeichenkonvention
Ein Schnitt erzeugt zwei Ufer, und an beiden wirken die Schnittgrößen — nach actio = reactio entgegengesetzt. Damit ein Vorzeichen etwas bedeutet, braucht es zuerst ein festes Koordinatensystem. Das Lehrbuch legt es so: Die -Achse fällt mit der Balkenlängsachse zusammen und zeigt nach rechts, während nach unten gerichtet ist; die -Achse zeigt aus der Zeichenebene heraus.
Welches Ufer welches ist, entscheidet der Normalenvektor — er steht senkrecht auf der Schnittfläche und zeigt vom Körperinneren nach außen. Das Schnittufer, dessen Normalenvektor in positive -Richtung zeigt, heißt positives Schnittufer; zeigt er in negative Richtung, ist es das negative Schnittufer.
Diese eine Regel deckt alle drei Schnittgrößen ab. Am linken Teilstück des Trägers liegt das positive Ufer — dort zeigt ein positives nach unten, weil nach unten zeigt. Am rechten Teilstück ist es umgekehrt. Genau deshalb liefern beide Teilsysteme dieselben Werte, obwohl die Pfeile in verschiedene Richtungen weisen.
In welche Richtung zeigt eine positive Querkraft am negativen Schnittufer?
Bei Balken wirken die Lasten fast immer nach unten. Zeigt in dieselbe Richtung, sind die üblichen Lasten positiv und man rechnet seltener mit Minuszeichen. Der Preis ist ein Koordinatensystem, das anders liegt als im Rest der Statik — deshalb steht das Achsenkreuz in diesem Modul in jeder Zeichnung dabei: x nach rechts, z nach unten.
Schnittgrößen aus dem Gleichgewicht
Das Vorgehen ist immer dasselbe: Lagerkräfte bestimmen, an der Stelle schneiden, ein Teilsystem freimachen, die drei Gleichgewichtsbedingungen aufschreiben. Die Schnittgrößen sind dann die einzigen Unbekannten.
Der Löse-Stepper macht das für einen Schnitt im ersten Feld, also für . Das linke Teilstück trägt dort nur die Lagerkraft und den Anteil der Streckenlast, der bis zur Schnittstelle reicht.
Beide führen zum selben Ergebnis — man nimmt das mit den wenigeren Kräften. Beim Kranbahnträger ist das für kleine das linke Stück (nur ), für große das rechte (nur ). Rechnet man beide, hat man die Probe gleich mitgeliefert.
Balken unter Einzellasten
An der Stelle, an der die Laufkatze steht, passiert etwas Charakteristisches: Die Querkraft springt um den Betrag der Einzelkraft — vor dem Lastangriff , dahinter ; der Sprung ist genau . Das Biegemoment dagegen bleibt stetig; es bekommt nur einen Knick.
Das ist kein Zufall, sondern eine Folge des Gleichgewichts: Eine Kraft, die auf null Länge eingeleitet wird, kann eine Kraftgröße springen lassen, aber kein Moment — denn ihr Hebelarm ist an der Angriffsstelle selbst null.
Mitmach-Aufgabe: Stell die Schnittstelle so, dass das Biegemoment am größten wird. Vorsicht — es ist nicht die Stelle der Laufkatze.
Wenn du die Stelle gefunden hast, prüfe hier.
Was bewirkt ein von außen eingeleitetes Einzelmoment?
Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen
Schneidet man statt eines endlichen Stücks ein infinitesimales Balkenelement der Länge heraus und schreibt für dieses die Gleichgewichtsbedingungen an, bekommt man einen Zusammenhang, der die ganze Rechnerei abkürzt. Das Lehrbuch nennt ihn die lokalen Gleichgewichtsbedingungen:
Beide Aussagen liest man direkt an der Ansicht rechts ab: Wo die Streckenlast konstant ist, fällt linear; und die Steigung der -Linie ist an jeder Stelle der Wert von . Daraus folgt die praktisch wichtigste Konsequenz:
Beim Kranbahnträger ist das bei der Fall — nicht unter der Laufkatze bei 1,50 m. Dort ist .
Für die Lagerreaktionen darf man eine Streckenlast durch ihre Resultierende ersetzen — das Ergebnis stimmt. Für die Schnittgrößen darf man das nicht: Die Streckenlast ist nicht vor dem Schnitt zu einer Resultierenden zusammenzufassen, sonst verschwindet gerade die -Abhängigkeit, um die es geht. Erst wird geschnitten, dann wird der Anteil bis zur Schnittstelle zusammengefasst.
Woran erkennt man die Stelle des größten Biegemoments?
Integration und Randbedingungen
Die lokalen Gleichgewichtsbedingungen lassen sich auch andersherum benutzen: Ist die Streckenlast bekannt, folgen und durch Integration.
Die beiden Integrationskonstanten bestimmt man aus den Randbedingungen — und die hängen an der Lagerung. Ein gelenkiges Lager kann kein Moment aufnehmen, also ist dort . Ein freies Balkenende überträgt weder Kraft noch Moment, also und . Eine Einspannung dagegen gibt nichts vor: Dort sind und gerade die gesuchten Lagerreaktionen.
Am Kranbahnträger sind beide Lager gelenkig — deshalb beginnt und endet die -Linie in der Ansicht rechts bei null. Diese beiden Nullstellen sind zugleich die beste Probe für jede von Hand gerechnete Momentenlinie.
Für einen Träger mit wenigen Lasten ist der Schnitt an der Stelle schneller. Für stetig veränderliche Lasten — eine Dreiecks- oder Trapezlast — ist die Integration der kürzere Weg, weil man die Resultierende des Lastanteils nicht bei jedem Schnitt neu bestimmen muss. Beide sind dieselbe Rechnung in unterschiedlicher Reihenfolge.
Übergangsbedingungen bei mehreren Feldern
Sobald sich die Belastung sprunghaft ändert — eine Einzelkraft, ein Einzelmoment, der Anfang oder das Ende einer Streckenlast —, gelten links und rechts davon verschiedene Funktionen. Man teilt den Balken deshalb in Felder ein und rechnet in jedem Feld eigene Integrationskonstanten aus.
Zusammengehalten werden die Felder durch die Übergangsbedingungen an den Feldgrenzen. Sie sagen genau das, was Kapitel 04 an der Bühne gezeigt hat:
- Eine Einzelkraft lässt um ihren Betrag springen, bleibt stetig (Knick).
- Ein Einzelmoment lässt springen, bleibt stetig.
- Wo nichts eingeleitet wird, gehen beide stetig ineinander über.
Ein Sonderfall sind Verbindungselemente. Ein Gelenk im Balken — wie beim Gerberträger aus dem Modul „Lagerreaktionen" — kann kein Moment übertragen. Dort gilt also , und das ist die zusätzliche Gleichung, die den Gerberträger überhaupt erst rechenbar macht.
Was gilt an einem Momentengelenk im Balken?
Föppl-Symbol
Die Feldeinteilung ist zwar systematisch, aber mühsam: Bei drei Feldern sind sechs Integrationskonstanten zu bestimmen. Das Föppl-Symbol schreibt dieselbe Funktion in einem Ausdruck — dann ist keine Einteilung in mehrere Felder mehr nötig.
Die spitzen Klammern schalten sich also erst an der Stelle ein. Integriert und differenziert wird wie mit gewöhnlichen Klammern:
Damit lässt sich das Biegemoment des Kranbahnträgers über die ganze Länge in einer Zeile hinschreiben. Der Stepper baut sie auf.
Mitmach-Aufgabe: Verschiebe die Laufkatze in der Ansicht rechts so, dass die beiden Felder gleich lang werden — dann steht die Klammer genau in der Trägermitte.
Wenn die Laufkatze in der Mitte steht, prüfe hier.
Von der Belastung zur Momentenlinie
Weil und gilt, hängt die Form der Verläufe unmittelbar an der Form der Belastung. Jede Integration erhöht den Grad um eins:
| Belastung | Querkraft | Biegemoment |
|---|---|---|
| keine | konstant | linear |
| konstant | linear | quadratisch |
| linear (Dreieckslast) | quadratisch | kubisch |
| Einzelkraft | Sprung | Knick |
| Einzelmoment | stetig | Sprung |
Mit dieser Tafel lassen sich Verläufe skizzieren, ohne eine einzige Funktion aufzuschreiben: Man trägt die bekannten Werte an den Rändern und an den Lastangriffsstellen ein und verbindet sie mit der Kurve des richtigen Grades. Genau das übt die zweite Aufgabe auf der Übungsseite.
Mitmach-Aufgabe: Stell die Streckenlast auf null. Welche Form hat die Momentenlinie dann?
Wenn nur noch die Laufkatze wirkt, prüfe hier.
Welchen Grad hat die Momentenlinie unter einer Dreieckslast?