Statik · Fachwerke

Der Dachbinder

Rechts steht der Binder, der das Hallendach trägt: Spannweite 8,0 m, Firsthöhe 3,0 m, neun Stäbe zwischen sechs Knoten. Am First greift die Last an — die gesammelte Schneelast der angrenzenden Dachfläche.

Damit das Modell trägt, macht man zwei idealisierende Annahmen: Die Stäbe sind an den Knoten zentrisch und gelenkig miteinander verbunden — die Knoten sind also reibungsfreie Gelenke —, und die äußeren Kräfte greifen nur in den Knoten an.

Das ist die ganze Pointe des Fachwerks. Ein Stab, der nur an seinen beiden Enden belastet ist, ist ein Zweikraftglied: Seine Kraft liegt auf der Stabachse. Es gibt kein Biegemoment, das der Querschnitt aufnehmen müsste — deshalb kommt ein Fachwerk mit erstaunlich wenig Material aus.

Statische Bestimmtheit

Ein Fachwerk ist statisch bestimmt, wenn sich die Stab- und Lagerkräfte allein aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen. Das Abzählen ist hier besonders einfach, denn an jedem Knoten greift eine zentrale Kräftegruppe an — Momente entstehen dort nicht. Je Knoten stehen also nur zwei Gleichungen zur Verfügung:

Dabei ist die Zahl der Knoten, die der Stäbe und die der Lagerreaktionen. Für den Binder: sechs Knoten, neun Stäbe, drei Lagerreaktionen — , die Rechnung geht auf.

Wie schon bei den Lagerreaktionen ist das eine notwendige Bedingung. Ein Fachwerk ist zusätzlich kinematisch bestimmt, wenn es unbeweglich ist; kann es endliche oder auch nur infinitesimale Bewegungen ausführen, ist es kinematisch unbestimmt — und damit unbrauchbar, egal wie schön die Abzählung stimmt.

Aufbau eines Fachwerks

Statt abzuzählen kann man ein Fachwerk auch so bauen, dass es von vornherein bestimmt ist. Dafür nennt das Lehrbuch drei Bildungsgesetze:

Nach dem ersten Bildungsgesetz geht man von einem Einzelstab aus und fügt jeweils zwei weitere Stäbe so an, dass ein Dreieck entsteht. Wiederholt man das, wächst ein Fachwerk, das immer statisch und kinematisch bestimmt bleibt — Dreiecke sind die einzigen Vielecke, die sich ohne Verformung nicht verziehen lassen.

Das zweite Bildungsgesetz verbindet zwei nach dem ersten gebaute Fachwerke durch drei Stäbe, deren Wirkungslinien sich nicht in einem Punkt schneiden dürfen. Das dritte erlaubt, einen Stab zu entfernen und an anderer Stelle wieder einzufügen — so entstehen die sogenannten nichteinfachen Fachwerke.

Der Dachbinder rechts ist nach dem ersten Bildungsgesetz aufgebaut und damit sein eigenes Beispiel: Verfolge in der Ansicht, wie sich Dreieck an Dreieck legt.

Nullstäbe finden

Bevor man rechnet, lohnt die Suche nach Stäben, deren Kraft von vornherein null ist. Man nennt sie Nullstäbe; jeder erkannte Nullstab ist eine Unbekannte weniger. Drei Regeln helfen dabei:

1. Regel 1: An einem unbelasteten Knoten mit genau zwei Stäben, deren Achsen nicht auf derselben Geraden liegen (nicht kollinear), sind beide Stäbe Nullstäbe („unbelasteter Zweischlag“).
2. Regel 2: An einem belasteten Knoten mit genau zwei nicht kollinearen Stäben ist der andere Stab ein Nullstab, wenn die äußere Kraft längs der Achse des einen Stabes wirkt.
3. Regel 3: An einem unbelasteten Knoten mit genau drei Stäben ist der dritte Stab ein Nullstab, wenn zwei Stabachsen auf derselben Geraden liegen und die Achse des dritten Stabs außerhalb dieser Geraden liegt.

Kollinear bedeutet: Die Stabachsen liegen auf derselben Geraden, auch wenn die Stäbe vom Knoten aus in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Bei zwei kollinearen Stäben folgt aus einem unbelasteten Knoten nicht, dass beide Stabkräfte null sind; auch von null verschiedene Kräfte können sich dort ausgleichen. Ihre Werte müssen aus dem Gleichgewicht des übrigen Fachwerks bestimmt werden.

Alle drei folgen unmittelbar aus den Gleichgewichtsbedingungen am Knoten — man muss sie nicht auswendig lernen, sondern kann sie jederzeit nachrechnen: Wenn quer zur gemeinsamen Richtung keine andere Kraft steht, muss die einzige verbleibende null sein.

Mitmach-Aufgabe: Am Dachbinder greift die Last nur am First an. Klicke in der Ansicht rechts alle Stäbe an, die dadurch zu Nullstäben werden.

Das Knotenpunktverfahren

Das Knotenpunktverfahren ist das systematische Vorgehen: Man schneidet sämtliche Knoten frei und stellt an jedem die Gleichgewichtsbedingungen auf. Bei statisch und kinematisch bestimmten Fachwerken führt es immer zum Ziel.

Dabei gilt die Vereinbarung, dass Zugkräfte positiv sind. Positive Stabkräfte wirken deshalb von den Knoten weg — sie ziehen an ihnen; negative zeigen Druck an und wirken auf die Knoten zu. Man setzt also alle Stabkräfte als Zug an und liest die Beanspruchungsart am Vorzeichen ab.

Der einzige Kunstgriff ist die Reihenfolge: Man beginnt an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften — sonst stehen zwei Gleichungen drei Unbekannten gegenüber. Beim Binder ist das der Lagerknoten .

Rittersches Schnittverfahren

Sind nur einzelne Stabkräfte gesucht, ist es meist zweckmäßig, das Rittersche Schnittverfahren anzuwenden. Statt sich von Knoten zu Knoten vorzuarbeiten, trennt man das Fachwerk mit einem Schnitt in zwei Teile und schreibt für einen davon die Gleichgewichtsbedingungen an.

Zwei Bedingungen muss der Schnitt erfüllen: Er muss das Fachwerk vollständig durchtrennen, und er darf höchstens drei Stäbe schneiden, deren Wirkungslinien sich nicht in einem Punkt treffen — sonst stehen drei Gleichungen mehr als drei Unbekannten gegenüber.

Der eigentliche Trick liegt im Bezugspunkt: Legt man ihn in den Schnittpunkt zweier der drei geschnittenen Stäbe, fallen deren Momente weg, und die dritte Stabkraft steht allein in der Gleichung. Für die drei Stäbe eines Schnitts braucht man so nur drei einzelne Momentenbilanzen — und keinen einzigen Knoten davor.

Die Verfahren im Vergleich

Beide Verfahren liefern dasselbe Ergebnis — sie unterscheiden sich im Aufwand, und die Wahl hängt an der Frage:

Alle Stabkräfte gesucht? Dann ist das Knotenpunktverfahren richtig. Es arbeitet sich systematisch durch, ist gut zu tabellieren und lässt sich kaum falsch machen — allerdings pflanzt sich ein Fehler an einem frühen Knoten durch alle folgenden fort.

Einzelne Stabkräfte gesucht, etwa für die Bemessung des höchstbeanspruchten Untergurts? Dann spart der Ritterschnitt fast die ganze Arbeit: eine Bilanz statt einer Knotenkette. Er eignet sich auch als Probe — wer eine mit dem Knotenverfahren gefundene Stabkraft über einen Ritterschnitt bestätigt, hat sie unabhängig geprüft.

Das Lehrbuch nennt daneben noch ein drittes, grafisches Verfahren, den Cremona-Plan; er wird in dieser Vorlesung nicht behandelt.