Statik · Allgemeine Kraftsysteme und Gleichgewicht des starren Körpers

Der Wandschwenkkran

Rechts hängt eine Laufkatze mit der Last auf einem waagerechten Ausleger. Der Ausleger ist bei an der Wand angeschlossen; eine Zugstrebe läuft vom Wandpunkt zum Auslegerende und hält ihn oben. Die Laufkatze lässt sich verschieben — und genau darin liegt der Unterschied zum vorigen Modul: Dieselbe Last wirkt je nach Stellung ganz verschieden auf den Kran.

Verstelle die Laufkatze mit dem Regler und beobachte die Werte-Box. Die Strebenkraft wächst, je weiter die Last nach außen wandert, obwohl gleich bleibt. Woran das liegt, entwickeln die nächsten Kapitel.

Der Schnitt am starren Körper

Der Arbeitsablauf bleibt derselbe wie im vorigen Modul: freischneiden, Freikörperbild zeichnen, Gleichgewichtsbedingungen aufstellen, auflösen. Neu ist, dass die Kräfte jetzt an verschiedenen Stellen des herausgetrennten Körpers angreifen — das Freikörperbild muss also nicht nur zeigen, welche Kräfte wirken, sondern auch wo.

Welcher Körper herausgetrennt wird, ist wieder eine Entscheidung. Gesucht sind die Strebenkraft und die Kräfte am Wandanschluss — ein Schnitt, der nur eine davon freilegt, hilft nicht weiter.

Mitmach-Aufgabe: Schneide selbst frei — zuerst entscheidest du, welchen Körper du heraustrennst, danach trägst du die Kräfte an ihren Angriffspunkten an. Bei der Strebenkraft darfst du Zug oder Druck annehmen; die Lagerkräfte trägst du in Richtung der Koordinatenachsen an.

Parallele Kräfte und das Kräftepaar

Zwei parallele Kräfte lassen sich zu einer Resultierenden zusammenfassen: Ihr Betrag ist die algebraische Summe, , und ihre Wirkungslinie liegt so zwischen ihnen, dass das Hebelgesetz von Archimedes erfüllt ist:

Diese Konstruktion versagt in genau einem Fall — wenn die beiden Kräfte gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Dann wird und die Abstände laufen ins Unendliche. Ein solches Paar heißt Kräftepaar und lässt sich nicht auf eine einzelne Kraft reduzieren.

Beschrieben wird diese Drehwirkung durch das Moment des Kräftepaars: seinen Betrag und seinen Drehsinn, den wir als gebogenen Pfeil zeichnen. Die Einheit ist das Newtonmeter — geschrieben mit der Länge hinter der Kraft, damit keine Verwechslung mit dem Milli-Newton entsteht.

Ein und dasselbe Kräftepaar hat beliebig viele äquivalente Darstellungen: Man darf die Kräfte verkleinern und den Abstand entsprechend vergrößern — das Produkt bleibt gleich. Daraus folgt die entscheidende Eigenschaft:

Es kann ohne Änderung seiner Wirkung an jeder beliebigen Stelle eines starren Körpers angreifen. Deshalb zeichnet man später gar kein Kräftepaar mehr, sondern nur noch das Symbol mit einem Drehpfeil. Greifen mehrere Momente an, werden sie unter Beachtung des Drehsinns algebraisch addiert:

Moment einer Kraft und Hebelarm

Längs ihrer Wirkungslinie darf eine Kraft wandern. Was aber passiert, wenn man sie parallel verschiebt? Legt man an der neuen Wirkungslinie zwei entgegengesetzte Kräfte vom Betrag an — eine Gleichgewichtsgruppe, die nichts ändert —, so bildet eine davon mit der ursprünglichen Kraft ein Kräftepaar im Abstand . Übrig bleiben also: die Kraft an der neuen Stelle plus ein Moment.

Diese Größe heißt das Moment der Kraft bezüglich des Punktes ; der hochgestellte Index nennt den Bezugspunkt. Der senkrechte Abstand zwischen Bezugspunkt und Wirkungslinie heißt Hebelarm. Vereinbart wird: Ein Moment zählt positiv, wenn es gegen den Uhrzeigersinn dreht.

Statt den Hebelarm geometrisch zu suchen, zerlegt man die Kraft meist in ihre kartesischen Komponenten und addiert deren Momente:

Dahinter steht eine Aussage, die das ganze Kapitel trägt: Die Summe der Momente von Einzelkräften ist gleich dem Moment der Resultierenden. Es spielt also keine Rolle, ob man Kräfte erst addiert und dann das Moment bildet oder ob man die Einzelmomente summiert. In der Literatur trägt dieser Satz auch den Namen Momentensatz; das Lehrbuch spricht ihn ohne Namen aus.

In der Ansicht rechts lässt sich der Bezugspunkt anklicken — , oder die Laufkatze. Der Momentbogen der Last wandert mit, und die Zelle zeigt, was dabei herauskommt.

Die Resultierende ebener Kraftsysteme

Jetzt die allgemeine Frage: Wie weit lässt sich eine beliebige ebene Kräftegruppe reduzieren? Man wählt einen beliebigen Bezugspunkt und verschiebt jede Kraft parallel zu sich selbst, bis ihre Wirkungslinie durch läuft — und fügt für jede das Moment hinzu, das dabei entsteht. Übrig bleiben eine zentrale Kräftegruppe und eine Gruppe von Momenten:

Der Richtungswinkel heißt hier ; im Lehrbuch steht an dieser Stelle , das in diesem Modul aber schon der Neigung der Zugstrebe gehört.

Ein Schritt geht noch: Statt die Resultierende durch samt Moment anzugeben, kann man allein nennen — dann muss ihre Wirkungslinie allerdings um den Abstand

parallel verschoben werden. Daraus ergeben sich vier Fälle, auf die sich jede ebene Kräftegruppe zurückführen lässt: eine Resultierende neben dem Bezugspunkt · eine Resultierende durch den Bezugspunkt () · ein reines Kräftepaar (, dann ist das Moment bezugspunktunabhängig) · und Gleichgewicht (beides null).

Gleichgewichtsbedingungen des starren Körpers

Gleichgewicht herrscht, wenn die Reduktion auf nichts führt — wenn also die resultierende Kraft und das resultierende Moment verschwinden. In Komponenten sind das drei Bedingungen:

Drei Bedingungen für drei Freiheitsgrade: In der Ebene kann sich ein Körper in - und -Richtung verschieben und um eine Achse senkrecht zur Zeichenebene drehen. Mit drei Gleichungen lassen sich entsprechend höchstens drei Unbekannte bestimmen — beim Wandschwenkkran genau die Strebenkraft und die beiden Lagerkräfte.

Bei der Momentenbedingung gehören immer zwei Angaben dazu: der Bezugspunkt und der als positiv gewählte Drehsinn. Das Lehrbuch schreibt die Bilanzen deshalb mit Richtungspfeilen als Zeilenmarken — für die waagerechte, für die senkrechte Kraftbilanz und für die Momentenbilanz um . Die Herleitung unten hält sich daran.

Daraus folgt die wichtigste praktische Regel des Kapitels: Es ist meist zweckmäßig, den Bezugspunkt so zu wählen, dass er auf der Wirkungslinie einer Kraft liegt. Ihr Hebelarm ist dann null, und sie taucht im Momentengleichgewicht gar nicht erst auf — eine Unbekannte weniger in der Gleichung.

Allgemeine Kräftegruppen im Raum

In der Ebene gab es nur eine Drehmöglichkeit — um die Achse senkrecht zur Zeichenebene. Im Raum sind es drei, und das Moment braucht deshalb drei Komponenten. Es wird zum Momentenvektor:

Damit man ihn in Zeichnungen nicht mit einer Kraft verwechselt, wird der Momentenvektor als Doppelpfeil dargestellt — so auch in der Ansicht rechts. Sein Drehsinn folgt der Korkenzieherregel: Blickt man in Richtung des Vektors, dreht ein positives Moment rechtsherum.

Am Vorgehen ändert sich nichts: reduzieren auf resultierende Kraft und resultierendes Moment, dann bilanzieren. Nur sind es jetzt sechs Bedingungen für sechs Freiheitsgrade — drei Verschiebungen und drei Drehungen: