Statik · Lagerreaktionen

Ebene Tragwerke und ihre Einteilung

Bevor es um Lager geht, die Begriffe für das, was gelagert wird. Das Lehrbuch ordnet Bauteile nach Form und Belastung:

Ein Stab hat Querschnittsabmessungen, die sehr viel kleiner sind als seine Länge, und wird nur längs seiner Achse beansprucht — auf Zug oder Druck. Wird dasselbe Bauteil quer zur Achse belastet, heißt es Balken. Ein gekrümmter Balken ist ein Bogen; mehrere starr verbundene, abgewinkelte Balken bilden einen Rahmen. Ebene Bauteile heißen Scheibe, wenn sie in ihrer Ebene belastet werden, und Platte, wenn quer dazu. Ein gekrümmtes Flächentragwerk ist eine Schale.

Der Kranbahnträger rechts ist danach ein Balken: schlank, und quer zu seiner Achse belastet — durch das Eigengewicht als Gleichstreckenlast und durch die Laufkatze als Einzellast.

Lagerarten und ihre Wertigkeit

Lager verbinden ein Tragwerk mit seiner Umgebung. Sie erzeugen eine gewünschte Lage im Raum und übertragen dabei Kräfte. Wie viele Reaktionen ein Lager überträgt, heißt seine Wertigkeit:

Ein einwertiges Lager überträgt eine Reaktion — das Rollenlager etwa nur die Normalkraft senkrecht zur Auflagerebene, die Pendelstütze nur eine Kraft längs ihrer Achse. Ein zweiwertiges Lager überträgt zwei: das gelenkige Lager hält in beide Richtungen, lässt aber drehen; die Schiebehülse ist quer verschieblich, dafür verdrehsteif und überträgt Normalkraft und Moment. Ein dreiwertiges Lager überträgt drei — die Einspannung hält in beiden Richtungen und verhindert zusätzlich die Verdrehung.

Probiere es aus: Unter der Ansicht rechts lassen sich beide Lagerstellen des Kranbahnträgers umschalten. Das Symbol ändert sich, und mit ihm die Zahl der freigelegten Reaktionen.

Das Tragwerk von seinen Lagern trennen

Der Arbeitsablauf des Lehrbuchs ist immer derselbe: Freischneiden des Tragwerks von den Lagern und Trennen der einzelnen Teilkörper · Freikörperbilder skizzieren mit allen eingeprägten Kräften und Momenten sowie allen Schnittkräften und -momenten · Gleichgewichtsbedingungen aufstellen · Auflösen nach den Unbekannten.

Neu gegenüber den vorigen Modulen ist nur, dass die freigelegten Kräfte jetzt aus der Wertigkeit folgen: An einem Loslager erscheint eine Kraft, am Festlager zwei, an der Einspannung zwei Kräfte und ein Moment.

Mitmach-Aufgabe: Schneide den Kranbahnträger frei. Achte auf die Wertigkeit — trägst du an einem Lager zu wenige Reaktionen an, sagt dir das Feedback, welche Wertigkeit es hat.

Statische und kinematische Bestimmtheit

Ein Tragwerk heißt statisch bestimmt gelagert, wenn sich die Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen lassen. In der Ebene stehen dafür drei Gleichungen zur Verfügung — also darf es genau drei Lagerreaktionen geben.

Das reicht aber nicht. Ein Tragwerk ist kinematisch bestimmt, wenn es unbeweglich ist; kann es endliche oder auch nur infinitesimale Bewegungen ausführen, ist es kinematisch unbestimmt. Beides zusammen verlangt das Lehrbuch:

Diese drei dürfen sein: drei Kräfte, die nicht alle parallel und nicht zentral sind — oder zwei Kräfte und ein Moment, wobei die Kräfte nicht parallel sein dürfen.

Und ein Hinweis, den das Lehrbuch ausdrücklich gibt: Die statische Bestimmtheit hängt nur von der Lagerung ab, nicht von der Belastung. Ein statisch bestimmt gelagerter Träger bleibt es, egal was auf ihm steht.

Berechnung der Lagerreaktionen

Jetzt die Rechnung am Kranbahnträger. Zwei Dinge sind dabei neu gegenüber dem Modul „Kraftsysteme": Die Streckenlast muss zuerst durch ihre Resultierende ersetzt werden — Betrag gleich der Fläche unter , Angriffspunkt in deren Schwerpunkt, genau wie im vorigen Modul entwickelt. Und der Bezugspunkt wird wieder geschickt gewählt: auf eines der beiden Lager, damit dessen Reaktionen herausfallen.

Superpositionsprinzip

Der Kranbahnträger trägt zwei Lasten: sein Eigengewicht als Streckenlast und die Laufkatze als Einzellast. Weil alle Gleichgewichtsbedingungen linear in den Kräften sind, darf man beide Lastfälle getrennt rechnen und die Ergebnisse addieren:

Das ist mehr als eine Rechenerleichterung: Wandert die Laufkatze, ändert sich nur ihr Anteil — der Anteil des Eigengewichts bleibt konstant. Genau deshalb kann man für einen Kranbahnträger einmal die Einflusslinie der Wanderlast bestimmen und den festen Anteil einfach addieren.

Die Ansicht rechts zeigt beide Anteile getrennt — schalte den Lastfall um und beobachte, wie sich die Balken im Bilanzblatt aufteilen.

Räumliche Tragwerke

Ein Körper, der im Raum frei beweglich ist, hat sechs Freiheitsgrade: je eine Verschiebung in -, - und -Richtung und je eine Drehung um diese drei Achsen. Entsprechend stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, und ein räumliches Tragwerk ist statisch bestimmt gelagert, wenn genau sechs Reaktionen auftreten und es unbeweglich ist.

Die Lagertypen sind dieselben Gedanken in drei Dimensionen: Die Pendelstütze bleibt einwertig, ein räumliches Gelenk hält drei Richtungen, eine räumliche Einspannung sechs. Die Ansicht rechts zeigt den Kranbahnträger mit einer zusätzlichen Windlast quer zur Trägerachse — feste Blickrichtung wie im Lehrbuch.

Mehrteilige Tragwerke

Tragwerke bestehen oft nicht aus einem einzigen starren Körper, sondern aus mehreren, die miteinander verbunden sind. Die Verbindungselemente übertragen Kräfte und Momente, die man durch Schnitte sichtbar macht — genau wie bei den Lagern, nur zwischen zwei Teilkörpern statt gegen die Umgebung:

Ein Pendelstab überträgt nur eine Kraft in seiner Längsrichtung, also . Ein Gelenk überträgt eine Kraft in beliebiger Richtung, also zwei Komponenten — —, aber kein Moment. Eine Parallelführung überträgt Normalkraft und Moment, ebenso . Für alle gilt actio = reactio: Die Verbindungsreaktionen wirken entgegengesetzt auf die beiden Teilkörper.

Für jeden freigeschnittenen Teilkörper gelten drei Gleichgewichtsbedingungen. Bei Teilkörpern sind das Gleichungen; ihnen stehen Lagerreaktionen und Verbindungsreaktionen gegenüber. Notwendig für statische Bestimmtheit ist also

Die Statusleiste über dem Bilanzblatt rechnet das mit — schalte die Lager um und beobachte, wann sie von „bestimmt" auf „unbestimmt" umspringt.

Dreigelenkbogen

Der einfachste mehrteilige Fall: zwei Teilkörper, in zwei Festlagern gelagert und durch ein Gelenk verbunden. Die Abzählung geht auf — Gleichungen stehen Lagerreaktionen und Gelenkreaktionen gegenüber.

Der Name täuscht: Es müssen keine Bögen sein. Rahmen und selbst Fachwerke können nach demselben Schema aufgebaut sein — entscheidend sind die drei Gelenke: zwei in den Lagern, eines dazwischen.

Gerechnet wird über die Teilsysteme: Für jeden Teilkörper drei Bedingungen, zusammen sechs Gleichungen für sechs Unbekannte. Ein nützlicher Kunstgriff ist die Momentenbilanz um das Gelenk — dort fallen die Gelenkkräfte heraus, weil ihr Hebelarm null ist.

Gelenkbalken (Gerberträger)

Zuletzt die Bauform, in die der Kranbahnträger hineinwächst: Ein durchlaufender Träger über mehrere Felder wäre statisch unbestimmt. Baut man Gelenke ein, wird er bestimmt — ein solcher Träger heißt Gelenkbalken oder Gerberträger.

Bei Gelenken zerfällt der Träger in Teilkörper, und jedes Gelenk liefert Verbindungsreaktionen. Die Bedingung gilt unverändert.

Der Rechenweg hat einen klaren Anfang: Man beginnt beim Teilsystem, das für sich allein bestimmt ist — meist ein Kragarm, der nur an einem Lager und einem Gelenk hängt. Aus ihm folgen die Gelenkkräfte, und mit ihnen wird das nächste Teilsystem zugänglich.