Statik · Balken
Voraussetzung: Die theoretischen Grundlagen entwickeln die drei Schnittgrößen, die Vorzeichenkonvention über den Normalenvektor, die lokalen Gleichgewichtsbedingungen und das Föppl-Symbol am Kranbahnträger.
Theoretische Grundlagen öffnen →Skizziere jeden Träger zuerst auf dem Blatt: freimachen, Lagerkräfte bestimmen, Felder abgrenzen, Verläufe eintragen. Die Teilschritte hier sind deine Kontrolle.
Aufgabe 1 · Konzeptcheck
An einem Balken wird geschnitten. Am negativen Schnittufer zeigt ein positives Biegemoment …
Die Regel lautet in einem Satz: Positive Schnittgrößen zeigen am positiven (negativen) Schnittufer in positive (negative) Koordinatenrichtung. Welches Ufer vorliegt, entscheidet der Normalenvektor .
Genau deshalb sind die Pfeile an den beiden Ufern eines Schnitts entgegengesetzt — und liefern trotzdem denselben Zahlenwert.
Ordne jeder Belastung die Form der zugehörigen Momentenlinie zu.
verläuft linear
verläuft quadratisch
verläuft kubisch
springt
Jede Integration erhöht den Grad um eins: . Aus keiner Belastung wird eine konstante Querkraft und ein linearer Momentenverlauf, aus einer konstanten Last ein quadratischer, aus einer linearen ein kubischer.
Einzelkraft und Einzelmoment fallen aus dieser Reihe heraus — sie erzeugen Sprünge: die Kraft in , das Moment in .
Wo liegt bei einem Träger unter mehreren Lasten das größte Biegemoment?
Aus folgt: hat dort einen Extremwert, wo ist. Beim Kranbahnträger der Theorieseite liegt diese Stelle bei 2,50 m — die Laufkatze steht bei 1,50 m.
Bei einem Sprung der Querkraft durch die Null liegt das Maximum an der Sprungstelle selbst; auch das folgt aus derselben Beziehung.
Ein Träger auf zwei Stützen trägt die Auflagerkraft und eine Einzelkraft bei . Welcher Ausdruck beschreibt über die ganze Länge?
Die gewöhnliche Klammer in a) würde auch links von einen Beitrag liefern — dort wirkt aber noch nicht. Die spitze Klammer schaltet sich erst bei ein.
Der Exponent muss sein: springt von 0 auf 1 und beschreibt damit den Querkraftsprung, nicht den Momentenknick.
Fazit: drei Regeln, die alles tragen
Vorzeichenkonvention, und — mehr braucht es nicht. Aus den beiden lokalen Gleichgewichtsbedingungen folgen die Verlaufsformen, die Lage des Maximums und die Sprungregeln an den Feldgrenzen.
Aufgabe 2 · Wanderlast über eine Brücke
Über eine Brücke der Spannweite fährt ein Kran mit dem Eigengewicht . Die Vorderachse ist mit belastet, die Hinterachse mit dem Rest; der Achsabstand beträgt . Betrachtet wird die Stellung, in der die Vorderachse bei steht. Die Brücke liegt links auf einem Fest-, rechts auf einem Loslager.
Aus folgt .
Das dem Kran nähere Auflager trägt mehr — eine gute erste Plausibilitätsprüfung.
Zeichne die Querkraftlinie . Setze Punkte durch Antippen, ziehe sie zurecht; ein Doppeltipp löscht einen Punkt.
Ohne Streckenlast ist feldweise konstant und springt nur an den Achsen:
Am rechten Rand ist — die zweite gute Probe.
Zeichne die Momentenlinie . Ohne Streckenlast besteht sie aus geraden Stücken.
Die Steigung jedes Stücks ist der Wert von in diesem Feld:
An beiden gelenkigen Lagern ist — beginnt oder endet deine Linie woanders, steckt der Fehler in den Lagerkräften.
— an der Stelle, an der die Querkraft von auf springt, also durch die Null geht.
Bei , unter der Vorderachse — nicht in Trägermitte und nicht unter der Hinterachse. Der Vorzeichenwechsel von entscheidet, nicht die Lage der Lasten für sich.
Zwischen den Achsen wirkt keine Streckenlast — also ist dort konstant und geradlinig.
Beginne die Q-Linie mit und ende mit . Dazwischen springt sie an jeder Achse um deren Last nach unten.
Für die M-Linie brauchst du nur vier Punkte: die beiden Lager (dort null) und die beiden Achsen. Die Werte dazwischen ergeben sich aus den Flächen unter der Q-Linie.
Fazit: die Q-Linie ist die Ableitung der M-Linie
Wer beide Linien nebeneinanderlegt, sieht unmittelbar: Wo positiv ist, steigt ; wo springt, knickt ; und wo das Vorzeichen wechselt, liegt der Scheitel.
Beim wandernden Kran ändert sich das mit jeder Stellung. Für die Bemessung sucht man deshalb die Stellung, in der am größten wird — das ist die Aufgabe hinter der Aufgabe.
Aufgabe 3 · Kragarm unter Dreieckslast
Ein Kragarm der Länge ist am rechten Ende eingespannt; das linke Ende ist frei. Er trägt eine Dreieckslast, die am freien Ende bei null beginnt und an der Einspannung erreicht. Die Koordinate wird vom freien Ende aus gezählt, es gilt also .
Die Fläche unter der Lastlinie ist ein Dreieck: .
Der Schwerpunkt einer Dreiecksfläche liegt bei zwei Dritteln von der Spitze aus: vom freien Ende — also vor der Einspannung.
Das ist genau das Werkzeug aus dem Modul „Schwerpunkt", hier auf eine Lastfläche angewendet.
Betrag der Querkraft an der Stelle , symbolisch.
Erlaubte Symbole: q0, x, l
Schreibhilfe: Potenz mit ^, Bruch mit /, Klammern erlaubt.
Die Querkraft trägt den Lastanteil zwischen freiem Ende und Schnitt, also die Dreiecksfläche bis :
Probe an der Einspannung:
Betrag des Biegemoments an der Stelle , symbolisch.
Erlaubte Symbole: q0, x, l
Schreibhilfe: Potenz mit ^, Bruch mit /, Klammern erlaubt.
Die Resultierende des Lastanteils greift ein Drittel von vor dem Schnitt an:
Das passt zur Merktafel: Die Last ist linear, also ist quadratisch und kubisch.
Zur Probe von Hand: Gesamtlast mal Hebelarm ergibt dasselbe.
Fasse die Streckenlast erst nach dem Schnitt zusammen — sonst verschwindet die Abhängigkeit von .
Der Lastanteil bis ist wieder ein Dreieck: Höhe , Breite . Sein Schwerpunkt liegt ein Drittel von vor dem Schnitt.
Fazit: eine Formel statt vieler Schnitte
Beim Kragarm braucht es kein Lager zuerst — das freie Ende liefert die Randbedingungen und gratis. Deshalb lohnt es sich, von dort aus zu zählen.
Die beiden Ausdrücke gelten für jede Länge und jede Lastgröße. Wer sie einmal hat, liest das Einspannmoment für jeden Kragarm mit Dreieckslast direkt ab.
Protokoll
Der Bearbeitungsstand aller drei Aufgaben wird als PDF-Protokoll mit Verifikations-Token exportiert — prüfbar über die Protokoll-Verifizierung der Plattform.
| Aufgabe | Status |
|---|---|
| Aufgabe 1: Konzeptcheck | Offen |
| Aufgabe 2: Wanderlast | Offen |
| Aufgabe 3: Dreieckslast | Offen |