Statik · Fachwerke
Voraussetzung: Die theoretischen Grundlagen entwickeln Idealisierungen und Bestimmtheit, die Bildungsgesetze, die drei Nullstabregeln sowie Knotenpunkt- und Ritterverfahren am Dachbinder.
Theoretische Grundlagen öffnen →Zeichne jedes Fachwerk zuerst auf dem Blatt: Nullstäbe streichen, Knoten freischneiden, Bilanzen aufstellen. Die Teilschritte hier sind deine Kontrolle.
Aufgabe 1 · Nullstäbe und Bestimmtheit
stehen gegenüber — die Abzählung geht genau auf, es ist keine Reaktion überzählig. Das Fachwerk ist damit abzählbar statisch bestimmt; ob es auch unbeweglich ist, muss man zusätzlich prüfen.
Ordne jede Situation der Nullstabregel zu, die sie beschreibt.
Regel 1 · beide Stäbe sind Nullstäbe („unbelasteter Zweischlag")
Regel 2 · der andere Stab ist ein Nullstab
Regel 3 · der dritte Stab ist ein Nullstab
Keine Regel greift — hier muss gerechnet werden
Prüfe bei jeder Nullstabregel die Anzahl der Stäbe, die Belastung und die Lage der Stabachsen. Kollinear heißt: auf derselben Geraden, auch bei entgegengesetzten Richtungen. Bei einem unbelasteten Knoten mit zwei kollinearen Stäben können sich von null verschiedene Stabkräfte ausgleichen; Regel 1 gilt dort nicht. Die hier beschriebene Situation mit drei verschieden gerichteten Stäben an einem belasteten Knoten lässt sich keiner der drei Regeln unmittelbar zuordnen.
Bei der Zugannahme kommt für einen Stab heraus. Was bedeutet das?
Nach der Vereinbarung sind Zugkräfte positiv: Positive Stabkräfte wirken von den Knoten weg, sie ziehen an ihnen. Ein negativer Wert zeigt Druck an — die Kraft wirkt auf den Knoten zu. Das Vorzeichen ist also keine Fehlermeldung, sondern das Ergebnis.
Fazit: erst streichen, dann rechnen
Wer vor dem Rechnen die Nullstäbe streicht, spart bei größeren Fachwerken die halbe Arbeit. Und wer die Zugannahme konsequent durchhält, liest die Beanspruchungsart am Ende einfach am Vorzeichen ab.
Aufgabe 2 · Knotenpunktverfahren
Ein Ausleger besteht aus zwei Stäben: Der waagerechte Stab läuft von der Wand bei zum Auslegerende , der schräge von — also 3,0 m über — ebenfalls nach . Am Auslegerende hängt die Last . Maße in Metern.
— ein 3-4-5-Dreieck. Die Richtungskosinus sind damit 0,8 und 0,6, und die Rechnung bleibt ohne Taschenrechner machbar.
An welchem Knoten beginnst du das Knotenpunktverfahren?
An greifen nur die Last und die beiden Stabkräfte an — zwei Unbekannte, zwei Gleichungen. An und kämen zusätzlich die Lagerkräfte hinzu.
Kraft im Schrägstab, symbolisch aus der senkrechten Bilanz am Knoten .
Erlaubte Symbole: F, l, hb (Höhe von B über A)
Schreibhilfe: Bruch mit /, Klammern erlaubt.
Der senkrechte Anteil des Schrägstabs ist . Aus folgt — positiv, der Schrägstab zieht.
Bei Zugannahme zeigen beide Stabkräfte von weg: die zu in Richtung , die zu in Richtung .
— negativ: Der waagerechte Stab steht unter Druck. Genau so muss es sein, denn der Schrägstab zieht das Auslegerende zur Wand.
Setze beide Stabkräfte als Zug an — dann zeigen ihre Pfeile vom Knoten weg, und du liest die Beanspruchungsart später am Vorzeichen ab.
Schreibe für den Knoten zuerst die beiden Einheitsvektoren auf. Damit werden beide Bilanzen zu einfachen Summen.
Fazit: der richtige Knoten zuerst
Zwei Gleichungen je Knoten heißt: höchstens zwei Unbekannte. Wer damit anfängt, arbeitet sich ohne Gleichungssystem durch — wer am falschen Knoten beginnt, steht sofort vor drei Unbekannten.
Aufgabe 3 · Ritterschnitt
Ein Parallelträger der Spannweite und der Höhe besteht aus vier Feldern à . Die Untergurtknoten liegen bei 0, 3, 6, 9 und 12 m, die Obergurtknoten bei 3, 6 und 9 m. Im Untergurtknoten bei greift senkrecht nach unten an — die Last steht also außermittig. Gesucht sind nur Ober- und Untergurtkraft im zweiten Feld.
Die Last steht außermittig — Symmetrie hilft hier nicht. Momentenbilanz um :
Zur Probe: — das näher an der Last liegende Auflager trägt mehr.
Ordne jeder gesuchten Stabkraft den Bezugspunkt zu, der sie allein in der Momentenbilanz stehen lässt.
Der Bezugspunkt gehört in den Schnittpunkt der beiden anderen geschnittenen Stäbe. Für ist das der Untergurtknoten bei 6,0 m — dort treffen sich Diagonale und Untergurt. Für ist es der Obergurtknoten bei 3,0 m, wo sich Obergurt und Diagonale treffen.
Die Last taucht in dieser Bilanz nicht auf — sie liegt rechts vom Schnitt. Negativ heißt: Der Obergurt steht unter Druck, wie bei jedem einfach gestützten Träger.
Positiv — der Untergurt zieht. Beide Werte folgen aus je einer Momentenbilanz; kein einziger Knoten musste dafür gerechnet werden.
Der Schnitt muss das Fachwerk vollständig durchtrennen und darf höchstens drei Stäbe treffen.
Rechne am linken Teil — dort steht nur die Auflagerkraft, die Last liegt rechts vom Schnitt.
Lege den Bezugspunkt dorthin, wo sich die beiden Stäbe schneiden, die du nicht suchst.
Fazit: eine Bilanz statt einer Kette
Mit dem Knotenpunktverfahren hätte man sich über drei Knoten bis zum zweiten Feld vorarbeiten müssen. Der Ritterschnitt liefert dieselben Werte aus zwei Momentenbilanzen — und eignet sich deshalb auch als unabhängige Probe für eine mit dem Knotenverfahren gefundene Stabkraft.
Protokoll
Der Bearbeitungsstand aller drei Aufgaben wird als PDF-Protokoll mit Verifikations-Token exportiert — prüfbar über die Protokoll-Verifizierung der Plattform.
| Aufgabe | Status |
|---|---|
| Aufgabe 1: Nullstäbe und Bestimmtheit | Offen |
| Aufgabe 2: Knotenpunktverfahren | Offen |
| Aufgabe 3: Ritterschnitt | Offen |