V11 - Physikalisches Pendel

Beim mathematischen Pendel hängt eine punktförmige Masse an einem masselosen Faden — eine Idealisierung. Ein physikalisches Pendel ist der wirkliche Fall: ein ausgedehnter Körper, drehbar um eine Achse A, die nicht durch seinen Schwerpunkt geht. Im Versuch ist es ein unregelmäßiger Körper auf einer Schneide.

Zwei Punkte bestimmen alles: die Drehachse A und der Schwerpunkt S. Ihr Abstand heißt s. In Ruhe hängt S senkrecht unter A — jede andere Lage würde sich von selbst dorthin drehen.

Abbildung: der Körper um α = 25° ausgelenkt. Der eingezeichnete Schwerpunkt ist der wirkliche Flächenschwerpunkt des gezeichneten Umrisses; der Hebelarm der Gewichtskraft ist der waagerechte Abstand s·sin α. Die sieben Löcher sind die Aufhängepunkte der Platte im Labor — hier hängt sie an Loch 1.

• A — Drehachse (die Schneide)
• S — Schwerpunkt des Körpers
• s — Abstand zwischen Drehachse und Schwerpunkt
• α — Auslenkwinkel aus der Ruhelage
• M·g — Gewichtskraft, stellt man sich als im Schwerpunkt angreifend vor

Ausgelenkt zieht die Gewichtskraft den Körper zurück — aber sie zieht nicht am Drehpunkt, sondern daneben. Dieser seitliche Versatz ist der Hebelarm, und Kraft mal Hebelarm ist das Drehmoment, das die Schwingung antreibt.

Das Drehmoment ist die entscheidende Größe dieses Versuchs: Es entscheidet, wie stark der Körper zurückgedreht wird — und damit über die Schwingungsdauer, die Sie messen.

Schreibweise

Zwei Bedeutungen für „m“ — eine Falle

In der Auswertung heißt die Steigung der Regressionsgeraden traditionell m. Deshalb steht in diesem Modul durchgängig das große M für die Masse des Pendelkörpers. Wer beides verwechselt, rechnet später zuverlässig falsch.

Die Schwingung entsteht aus einem Wechselspiel: Die Gewichtskraft dreht den Körper zur Ruhelage zurück, seine Trägheit lässt ihn darüber hinaus schießen. Wie schnell das geht, folgt aus dem Drehimpulssatz.

Was in der Formel steckt

Drei messbare Größen und eine gesuchte

M wiegen Sie, s messen Sie, T stoppen Sie — und g steckt mittendrin. Nur J ist noch unbekannt: Es hängt davon ab, wo die Achse liegt. Genau darum geht es im nächsten Kapitel.

Das Massenträgheitsmoment ist kein fester Wert eines Körpers — es gehört immer zu einer bestimmten Achse. Für jede Achse, die parallel zur Schwerpunktachse liegt, gilt der Satz von Steiner: zum Eigenanteil J_S kommt ein Zuschlag, der mit dem Quadrat des Abstands des Schwerpunkts vom Aufhängepunkt wächst.

Abbildung: derselbe Körper, wieder um α ausgelenkt. J_S gehört zur Achse durch den Schwerpunkt, J zur Drehachse im Abstand s.

Diese Gleichung wird als Satz von Steiner bezeichnet.

Für den unregelmäßigen Körper dieses Versuchs lässt sich J_S nicht aus der Geometrie berechnen — seine Form gibt keine Formel her. Das ist keine Schwäche des Versuchs, sondern sein Reiz: J_S und g lassen sich gemeinsam aus einer Messreihe gewinnen, in der Sie s verändern.

Hängen Sie den Körper an einer anderen Stelle auf, ändern sich s und J — und damit die Schwingungsdauer. Genau diese Abhängigkeit messen Sie.

Die Näherung sin α ≈ α aus Kapitel 2 ist der Preis für die einfache Formel. Sie kostet etwas — aber wenig, solange die Auslenkung klein bleibt. Wie wenig, zeigt die Zeichnung: Sie trägt sin α und α selbst über dem Winkel auf.

Abbildung: sin α und α im Bogenmaß über dem Winkel. Bis etwa 20° liegen beide Kurven aufeinander; darüber öffnet sich die Schere. Die gestrichelte Marke ist die Grenze, unter der gemessen wird.

Was die Näherung weglässt, kommt in der Schwingungsdauer wieder zum Vorschein: Das wirkliche Pendel schwingt bei großer Auslenkung langsamer, als die Formel aus Kapitel 2 verspricht — und zwar umso deutlicher, je weiter sin α unter der Geraden liegt. Die Tabelle nennt die Abweichung gegenüber T₀, der Schwingungsdauer für sehr kleine Winkel:

Auslenkung α	Abweichung von T0
5°	+0,05 %
10°	+0,19 %
20°	+0,76 %
25°	+1,19 %

Die Zeichnung in Kapitel 1 zeigt 25° — gut sichtbar, aber schon am Rand des Erlaubten. Gemessen wird mit kleineren Winkeln.

Probe am Prüfstand

Sehen Sie selbst nach

Der digitale Prüfstand rechnet ohne die Näherung, mit dem vollen sin α — so wie das wirkliche Pendel. Stellen Sie dort denselben Abstand s ein und messen Sie einmal mit 5° und einmal mit 20° Auslenkung. Der Unterschied in der Schwingungsdauer ist klein, aber er ist da — und er ist der Grund, warum mit kleinen Winkeln gemessen wird.

Messpraxis

Warum mindestens 30 Schwingungen

Beim Start und beim Stoppen der Uhr entsteht ein Fehler von einigen Zehntelsekunden — bei einer einzelnen Periode von etwa einer Sekunde wären das Abweichungen im zweistelligen Prozentbereich. Stoppen Sie dagegen 30 Schwingungen und teilen durch 30, verteilt sich derselbe Fehler auf alle Perioden und schrumpft auf unter ein Prozent.

Der Fehler verschwindet nicht — er wird geteilt. Das ist der billigste Genauigkeitsgewinn, den dieser Versuch zu bieten hat.

Jede Messung streut. Eine Gerade lässt sich aus streuenden Punkten besonders robust und nachvollziehbar bestimmen — eine gekrümmte Kurve dagegen nur schwer. Deshalb bringt man einen nichtlinearen Zusammenhang durch geschicktes Auftragen in eine geradlinige Form. Die gesuchte Größe steckt danach in der Steigung oder im Achsenabschnitt der Geraden.

Die Formel aus Kapitel 2 ist in s nicht linear — und J hängt selbst von s ab. Beides zusammen ist der Grund, warum eine rohe Auftragung von T über s nichts hergibt. Die Beispielmessreihe des Prüfstands zeigt es:

Abbildung: Schwingungsdauer über dem Abstand s. Die Kurve fällt zunächst, durchläuft ein Minimum und steigt wieder an — eine Gerade lässt sich hier nirgends anlegen. Erst die richtige Umformung macht aus dieser Kurve eine Gerade; welche das ist, ist die erste Leitfrage.

Die lineare Regression bestimmt diejenige Gerade y = m·x + c, die am besten zu Ihren Messpunkten passt. Steigung m und Achsenabschnitt c haben aber nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn Sie die Achsen aus der Grundgleichung des Versuchs ableiten. Genau diese Wahl treffen Sie selbst.

Ein Wort zur Benennung: Was die Zusatzfragen und die Anleitung Ordinatenabschnitt nennen, heißt hier und im Auswertewerkzeug c — gemeint ist beides Mal der Wert der Geraden an der Stelle x = 0.

Bei diesem Versuch tragen beide Parameter etwas: In dem einen steckt die Erdbeschleunigung, in dem anderen das Trägheitsmoment des Körpers. Welcher Parameter welche Größe trägt, ist die zweite Leitfrage.

Stellen Sie am digitalen Pendel den Abstand s zwischen Drehachse und Schwerpunkt ein, lenken Sie den Körper aus und messen Sie die Schwingungsdauer — für mehrere Abstände. Im Labor stoppen Sie dafür die 30 Schwingungen aus Kapitel 4; der digitale Prüfstand begnügt sich aus Zeitgründen mit zehn.

Im Anschluss daran führt Sie ein Knopf direkt zu Station 9, den Leitfragen.

Zeichnung

Das Pendel, noch einmal

Aus Kapitel 1 und 3 kennen Sie die Zeichnungen. Jetzt fehlen die Beschriftungen: Ziehen Sie sie an die richtige Stelle — mit der Maus, per Fingertipp oder indem Sie erst einen Baustein und dann ein Feld antippen.

Ihre Antworten

Fragen zur Auswertung

1. Welche Größen müssen Sie in einem Diagramm gegeneinander auftragen, damit eine lineare Regression durchgeführt werden kann? (Dies ist — neben der gewissenhaften Aufnahme der Messgrößen — die entscheidende Aufgabe dieses Versuchs.)

2. Wie lässt sich aus den Parametern der linearen Regression (Steigung, Achsenabschnitt) der Wert der Erdbeschleunigung bestimmen?

3. Welche Fehlerabschätzung Δg ergibt sich aus den Unsicherheiten von Steigung und/oder Achsenabschnitt für den Wert der Erdbeschleunigung?

Ihre Antworten werden lokal gespeichert und beim Export in Ihr Protokoll der Vorbereitung übernommen. Es gibt keine automatische Bewertung — diskutieren Sie Ihre Überlegungen im Labor und im Kolloquium.

Ihr Ergebnis

Die gesuchten Größen berechnen

Zum Schluss die Auswertung zu Ende führen: Geben Sie für jede gesuchte Größe zuerst die Beziehung symbolisch an und rechnen Sie sie dann mit Ihren eigenen Regressionsparametern aus.

Ihre Apparatur: Masse des Pendelkörpers M = steht am Prüfstand

1. Erdbeschleunigung g

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   m/s²

2. Eigenträgheitsmoment J_S des Pendelkörpers

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   kg·m²

Auch hier gibt es keine automatische Bewertung. Beides geht in Ihr Protokoll der Vorbereitung ein — damit am Ende nicht nur der Weg, sondern auch das Ergebnis dort steht.