V07 - Satz von Steiner

Auf einer senkrechten Achse sitzt ein Drehtisch. Zwischen Achse und Gestell ist eine Spiralfeder eingespannt. Verdreht man den Tisch um den Winkel φ und lässt los, dreht die Feder ihn zurück, er schießt über die Ruhelage hinaus — das Pendel schwingt, aber es schwingt um die eigene Achse.

Der Faktor C* heißt Richtmoment der Feder und wird in N·m gemessen. Er sagt dasselbe über die Drehfeder aus wie die Federkonstante über eine Zugfeder: welches Drehmoment zu einem Winkel gehört. Das Minuszeichen ist wesentlich — das Drehmoment zeigt immer zur Ruhelage zurück.

In älteren Texten steht beim Richtmoment noch der Zusatz „/rad". Diese Schreibweise ist veraltet: Der Winkel im Bogenmaß ist eine reine Zahl, die Einheit bleibt N·m.

Abbildung: Draufsicht auf den Drehtisch. Der Zusatzkörper steckt im Abstand a von der Drehachse, der Zeiger am Rand zeigt die Auslenkung φ gegenüber der Ruhelage.

Grundlagen

Die Analogie zwischen geradliniger Bewegung und Drehung

Zwischen der geradlinigen Bewegung und der Drehung besteht eine Analogie: Jede Größe der einen hat eine Entsprechung in der anderen, und die Gesetze behalten ihre Form. Die Übersetzungsregeln der Analogie lauten:

geradlinig	wird bei der Drehung zu
Wegstrecke s	Winkel φ
Geschwindigkeit v	Winkelgeschwindigkeit ω
Beschleunigung a	Winkelbeschleunigung φ̈
Kraft F	Drehmoment M
Masse m	Trägheitsmoment J
Federkonstante C	Richtmoment C*

Wer sich in einer der beiden Spalten sicher ausdrücken kann und diese Übersetzungsregeln kennt, kann auch mit den Größen der anderen Spalte argumentieren.

Der Unterschied steckt im Trägheitsmoment: Die Masse eines Körpers ist eine Zahl. Sein Trägheitsmoment hängt davon ab, um welche Achse er sich dreht — und genau das macht diesen Versuch aus.

Schreibweise

Zwei Bedeutungen für „m“ — eine Falle

In diesem Modul steht m für die Masse des Zusatzkörpers.

In der Auswertung heißt aber auch die Steigung der Regressionsgeraden traditionell m — so steht es im Werkzeug. Achten Sie darauf, welche der beiden Größen gemeint ist.

Und M ist in diesem Modul immer ein Drehmoment, nie eine Masse.

Sieben Steckpunkte

Im Drehtisch sitzt ein Radialschlitz mit sieben Bohrungen. Der Zusatzkörper lässt sich in jede davon stecken; sein Abstand von der Drehachse reicht von 0,040 m bis 0,130 m. Über der Drehachse selbst gibt es keine Bohrung — dort sitzt die Nabe.

Apparatur

Zwei Zahlen, die Sie später brauchen

Jeder der beiden Zusatzkörper hat die Masse m = 0,86478 kg. Der homogene Zylinder hat den Durchmesser d = 0,068015 m. Mit diesen beiden Werten rechnet Kapitel 4.

Die Bewegungsgleichung entsteht in zwei Zeilen — und sie ist von der ersten an linear. Klicken Sie sich Schritt für Schritt durch; die Zeichnung hebt jeweils hervor, worum es gerade geht.

Bemerkenswert

Die Schwingungsdauer ist amplitudenunabhängig

In der Formel steht kein φ. Ob Sie den Tisch um 5° oder um 40° verdrehen: Die Schwingungsdauer bleibt dieselbe. Beim Fadenpendel gilt das nur ungefähr und nur für kleine Winkel, weil dort das rückstellende Moment mit sin φ geht; hier gilt es exakt.

Das ist keine graue Theorie, sondern im Versuch nachprüfbar: Messen Sie denselben Steckpunkt einmal mit kleiner und einmal mit großer Auslenkung. Weichen die Zeiten voneinander ab, liegt es an Ihrer Zeitmessung — nicht an der Physik.

Die Schwingungsformel aus Kapitel 2 braucht das Trägheitsmoment J_ges des ganzen drehenden Systems. Es hat zwei Teile: den Zusatzkörper und den Drehtisch. Mit dem Satz von Steiner hat nur der Zusatzkörper zu tun — deshalb beginnt die Herleitung bei ihm.

Übersicht

Vier Trägheitsmomente, ein Versuch

Zeichen	Trägheitsmoment …	Bekannt?
JS	des Zusatzkörpers um seinen Schwerpunkt (Eigenträgheitsmoment)	homogener Zylinder: berechenbar · inhomogener Körper: gesucht
JK = JS + m·a²	des Zusatzkörpers um die Drehachse — hier wirkt der Satz von Steiner	folgt aus JS und dem Steckpunkt a
JT	des Drehtisches um die Drehachse	unbekannt, Eigenschaft der Drehvorrichtung
Jges = JT + JK	des ganzen drehenden Systems — das steht in der Schwingungsformel	steckt in der gemessenen Schwingungsdauer

Grundlagen

Woher der Term m·a² kommt

Das Trägheitsmoment ist die Summe aller Massenteilchen mal dem Quadrat ihres Abstands von der Drehachse. Misst man die Abstände vom Schwerpunkt des Körpers aus und verschiebt diesen um a, so zerfällt die Summe in drei Teile:

Der mittlere Term verschwindet, weil die Abstände vom Schwerpunkt aus gezählt werden — dort heben sich die Momente der Massenteilchen definitionsgemäß auf. Übrig bleibt der Satz von Steiner:

Ausgesprochen besagt er: Das Trägheitsmoment eines Körpers um eine beliebige Achse ist sein Trägheitsmoment um die dazu parallele Achse durch den Schwerpunkt, vermehrt um das Produkt aus Masse und Quadrat des Achsenabstands.

Er gilt nur für eine verschobene, parallele Achse — und nur, wenn J_S auf die Schwerpunktachse bezogen ist.

Zum Versuch gehören zwei Zusatzkörper mit derselben Masse, aber ganz unterschiedlicher Massenverteilung.

Abbildung: links der homogene Vollzylinder — Schwerpunkt in der Mitte, Massenverteilung bekannt. Rechts der inhomogene Körper: eine Seite ist schwerer, der Schwerpunkt liegt außerhalb der Mitte.

Für den homogenen Vollzylinder steht das Eigenträgheitsmoment in jeder Formelsammlung. Mit Masse und Durchmesser aus Kapitel 1 ist es damit eine bekannte Zahl:

Für den inhomogenen Körper geht das nicht: Man sieht ihm nicht an, wie die Masse innen verteilt ist. Sein J_S ist genau das, was Sie am Ende bestimmen sollen.

Grundlagen

Welcher Anteil ist bekannt?

Von den drei Anteilen aus Kapitel 3 lässt sich aus dem Abstand a immer nur der Steineranteil m·a² berechnen — für beide Körper, denn m ist bekannt. Beim homogenen Zylinder kommt J_S dazu; beim inhomogenen Körper bleibt es unbekannt, und J_T kennt man in keinem der beiden Fälle.

Der Prüfstand bietet diese Anteile deshalb als Achsenoptionen auf beiden Achsen an: den Steineranteil m·a², das Eigenträgheitsmoment J_S des homogenen Zylinders und das Trägheitsmoment des Zusatzkörpers um die Drehachse, J_K = J_S + m·a². Beide Optionen mit J_S rechnen mit der bekannten Zahl des Zylinders — für den inhomogenen Körper ist sie nur ein fester Zuschlag, nicht dessen Eigenträgheitsmoment. J_ges und J_T stehen nicht zur Wahl: Sie sind die Unbekannten, die erst aus der Regression folgen. Welche Wahl bei welchem Körper zu einer Geraden führt, bleibt Ihre Entscheidung.

Der rote Faden

Erst die Systemparameter bestimmen, dann vermessen

Daraus folgt der Ablauf des Versuchs. In der Formel aus Kapitel 3 stecken drei Größen, die niemand direkt messen kann: das Richtmoment C*, das Trägheitsmoment des Drehtisches J_T und — beim inhomogenen Körper — dessen J_S.

1. Systemparameter mit dem homogenen Zylinder. Hier ist J_S bekannt. Eine Messreihe über die Steckpunkte liefert C* und J_T — beides Eigenschaften der Drehvorrichtung.
2. Vermessen des inhomogenen Körpers. Dieselbe Drehvorrichtung, also dasselbe C* und dasselbe J_T. Eine zweite Messreihe liefert daraus das gesuchte J_S.

Die Werte aus Teil 1 sind in Teil 2 also nicht Beiwerk, sondern Voraussetzung. Notieren Sie sie, bevor Sie die Tabelle für die zweite Messreihe zurücksetzen.

Jede Messung streut. Eine Gerade lässt sich aus streuenden Punkten besonders robust und nachvollziehbar bestimmen — eine gekrümmte Kurve dagegen nur schwer. Deshalb bringt man einen nichtlinearen Zusammenhang durch geschicktes Auftragen in eine geradlinige Form. Die gesuchte Größe steckt danach in der Steigung oder im Ordinatenabschnitt der Geraden.

Die Formel aus Kapitel 3 ist in dieser Form nicht linear: Die Schwingungsdauer steht unter einer Wurzel. Die Beispielmessreihen des Prüfstands zeigen es für beide Körper:

Abbildung: Schwingungsdauer über dem Abstand a für den homogenen Zylinder und den inhomogenen Körper, gerechnet mit den Beispielwerten der Apparatur — Ihr Prüfstand würfelt je Sitzung eigene. Beide Kurven biegen sich nach oben, keine ist eine Gerade; die inhomogene liegt wegen des größeren J_S höher.

Vor dem Auftragen muss die Formel deshalb umgeformt werden. Welche Größen dann auf welche Achse gehören, ist die erste Leitfrage — und sie ist für die beiden Körper nicht dieselbe, weil beim homogenen Zylinder mehr bekannt ist als beim inhomogenen.

Die lineare Regression bestimmt diejenige Gerade y = m·x + c, die am besten zu Ihren Messpunkten passt. Steigung m und Ordinatenabschnitt c haben aber nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn Sie die Achsen aus der Grundgleichung des Versuchs ableiten. Genau diese Wahl treffen Sie selbst.

Was das Zusatzblatt Ordinatenabschnitt nennt, heißt im Auswertewerkzeug c — es ist der Wert der Geraden an der Stelle x = 0.

In diesem Versuch tragen beide Regressionsparameter ein Ergebnis: Aus der Steigung folgt eine Eigenschaft der Feder, aus dem Ordinatenabschnitt zusammen mit der Steigung eine Eigenschaft des drehenden Körpers. Ein Ordinatenabschnitt nahe null wäre hier also kein gutes Zeichen, sondern ein Hinweis auf einen Fehler.

Sie messen zweimal mit derselben Drehvorrichtung — erst mit dem homogenen Zylinder, dann mit dem inhomogenen Körper. Der Prüfstand zählt die Schwingungen mit; stoppen Sie jede Messung nach zehn, das drückt den Stoppfehler. So gehen Sie vor:

1. Den Körper „Homogen“ wählen und für alle sieben Steckpunkte die Schwingungsdauer stoppen; jede Messung mit „Hinzufügen“ in die Tabelle übernehmen.
2. Auswerten und Steigung wie Ordinatenabschnitt notieren — daraus folgen C* und J_T, die Sie in der zweiten Messreihe brauchen.
3. Zur zweiten Messreihe wechseln: Der grüne Knopf im Auswertefenster heißt jetzt „Weiter: Inhomogener Körper“ und stellt den Prüfstand um. Von Hand geht es genauso — den Körper „Inhomogen“ wählen. Die erste Messreihe bleibt in beiden Fällen gespeichert.
4. Dieselben sieben Steckpunkte noch einmal messen.
5. Erneut auswerten — beide Auswertungen erscheinen unten auf dieser Seite und gehen ins Protokoll.

Nach jeder Auswertung führt Sie ein Knopf zur nächsten Messreihe; sobald alle ausgewertet sind, geht es von dort direkt zu Station 9, den Leitfragen.

Zeichnung

Das Drehpendel, noch einmal

Aus den Kapiteln 1 bis 4 kennen Sie die Zeichnungen. Jetzt fehlen die Beschriftungen: Ziehen Sie sie an die richtige Stelle — mit der Maus, per Fingertipp oder indem Sie erst einen Baustein und dann ein Feld antippen.

Ihre Antworten

Fragen zum homogenen Metallzylinder

1. Welche Größen müssen Sie in einem Diagramm gegeneinander aufgetragen haben, um eine lineare Regression durchführen zu können?

2. Wie können aus den Regressionsparametern, also Steigung und Ordinatenabschnitt, die gesuchten Systemparameter bestimmt werden — das Trägheitsmoment J_T des Drehtisches und das Richtmoment C* der Drehfeder?

Fragen zum inhomogenen Metallzylinder

1. Welche Größen müssen Sie hier in einem Diagramm gegeneinander aufgetragen haben, um eine lineare Regression durchführen zu können?

2. Wie lässt sich mit den Systemparametern J_T und C* aus der Auswertung des homogenen Zylinders und den neuen Regressionsparametern das Trägheitsmoment J_S des inhomogenen Körpers berechnen?

Ihre Antworten werden lokal gespeichert und beim Export in Ihr Protokoll der Vorbereitung übernommen. Es gibt keine automatische Bewertung — diskutieren Sie Ihre Überlegungen im Labor und im Kolloquium.

Ihr Ergebnis

Die gesuchten Größen berechnen

Zum Schluss die Auswertung zu Ende führen: Die ersten beiden Größen folgen aus der Messreihe mit dem homogenen Zylinder, die dritte aus der zweiten Messreihe. Geben Sie jede Beziehung erst symbolisch an und rechnen Sie sie dann mit Ihren eigenen Regressionsparametern aus.

1. Richtmoment C* der Drehfeder

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   N·m

2. Trägheitsmoment J_T des Drehtisches

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   kg·m²

3. Eigenträgheitsmoment J_S des inhomogenen Körpers

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   kg·m²

Auch hier gibt es keine automatische Bewertung. Beides geht in Ihr Protokoll der Vorbereitung ein — damit am Ende nicht nur der Weg, sondern auch das Ergebnis dort steht.

Hinweis

Zwei Messreihen, zwei Auswertungen

Das Protokoll enthält beide Messreihen — je Körper die Messtabelle, das Diagramm und die Regressionsparameter. Fehlt eine Auswertung, steht das im Protokoll; exportieren Sie also erst, wenn beide Messreihen ausgewertet sind.