Statik · Haftung und Reibung
Statik · Haftung und Reibung
Wenn die Unterlage mitrechnet
Bisher waren alle Berührungsflächen glatt: Lager übertrugen genau die Kräfte, die ihre Wertigkeit zuließ. Reale Flächen sind rau — sie übertragen zusätzlich eine Kraft längs der Berührungsfläche. Dieses Modul entwickelt an der Kiste auf der Laderampe, wie groß diese Kraft werden kann, warum daraus eine Ungleichung statt einer Gleichung wird und was das für die Leiter an der Hallenwand bedeutet.
Zu den Übungsaufgaben →Löse die Aufgabe dieses Kapitels, um weiterzulesen.
Die Kiste auf der Rampe
Rechts steht eine Kiste mit der Gewichtskraft auf der Laderampe der Halle. Die Rampe ist um geneigt, ein Seil hält die Kiste parallel zur Rampe mit der Kraft .
Zerlegt man in die Richtungen normal zur Rampe und längs der Rampe, ergeben sich und der Hangabtrieb . Ohne Seil und ohne rauhe Fläche würde die Kiste mit diesen 273,62 N hangabwärts beschleunigt.
Sie tut es aber nicht — jedenfalls nicht sofort. Die Berührungsfläche überträgt eine Kraft längs der Rampe. Genau um diese Tangentialkomponente geht es in diesem Kapitel.
Ein Loslager überträgt genau eine Kraft, ein Festlager genau zwei — die Wertigkeit ist eine Eigenschaft der Konstruktion. Die raue Fläche ist anders: Wie viel sie längs überträgt, hängt davon ab, wie stark man sie belastet. Sie hat keine feste Wertigkeit, sondern eine Grenze.
Haftung und Reibung
Das Buch trennt zwei Fälle, die im Alltag beide „Reibung" heißen. Bleibt der Körper in Ruhe, spricht man von Haftung; bewegt er sich relativ zur Unterlage, von Reibung. Der Unterschied ist nicht nur sprachlich — die beiden Kräfte sind von grundverschiedener Art:
- Die Haftungskraft ist eine Reaktionskraft. Sie kann bei statisch bestimmten Systemen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden — genau wie eine Lagerreaktion.
- Die Reibungskraft ist eine eingeprägte Kraft. Ihre Größe ist vorgegeben und hängt nicht davon ab, was das Gleichgewicht verlangt.
Daraus folgt eine Regel, die im Freikörperbild oft übersehen wird: Weil eine Reaktionskraft ist, darf ihr Richtungssinn im Freikörperbild beliebig angenommen werden. Kommt am Ende ein negativer Wert heraus, zeigt sie eben andersherum — genauso wie bei einer Lagerkraft.
Wovon hängt die Haftungskraft ab, solange der Körper in Ruhe bleibt?
Die Coulombschen Reibungsgesetze
Der Betrag der Haftungskraft kann eine Grenzhaftkraft nicht überschreiten. Ein Körper haftet an einem anderen, wenn die Haftbedingung erfüllt ist:
Beachte das Ungleichheitszeichen. ist nicht der Wert der Haftungskraft, sondern ihre Obergrenze; welchen Wert tatsächlich annimmt, entscheidet nach wie vor das Gleichgewicht. Nur im Grenzfall — unmittelbar bevor der Körper rutscht — gilt .
Bewegt sich der Körper, gilt statt der Ungleichung eine Gleichung, das Coulombsche Reibungsgesetz . Der Haftungskoeffizient und der Reibungskoeffizient sind Werkstoffpaarungen zugeordnet und werden im Versuch bestimmt; meist ist etwas kleiner als .
An der Rampe ist , also . Der Hangabtrieb beträgt 273,62 N — die Haftung allein reicht also nicht. Ohne Seil rutscht die Kiste.
In kommt die Größe der Berührungsfläche nicht vor — ein breiter und ein schmaler Klotz gleichen Gewichts haften gleich gut. Der Grund: Bei doppelter Fläche halbiert sich die Flächenpressung, sodass das Produkt gleich bleibt. Das gilt nur näherungsweise, aber für die Statik gut genug.
Eine Kiste steht auf ebenem Boden, niemand schiebt. Wie groß ist ?
Haftungswinkel und Haftungskeil
Normalkraft und Haftungskraft lassen sich zu einer resultierenden Kraft zusammensetzen. Ihre Richtung gibt der Winkel gegen die Normale an:
Im Grenzfall wird daraus . Diesen Grenzwinkel nennt das Buch den Haftungswinkel ; er ist ein unmittelbares Maß für den Haftungskoeffizienten. An der Rampe ist .
Trägt man beim ebenen Problem nach beiden Seiten der Normalen auf, entsteht ein Haftungskeil. Solange innerhalb des Keiles liegt, ist , und der Körper bleibt in Ruhe. Das ist dieselbe Aussage wie die Haftbedingung — nur als Zeichnung statt als Ungleichung.
Auf der schiefen Ebene ohne Seil fällt mit der Vertikalen zusammen, und ist gerade der Neigungswinkel . Die Kiste hält also genau dann von allein, wenn ist.
Mitmach-Aufgabe: Stell die Rampe so flach, dass die Kiste ohne Seil gerade noch hält.
Wenn du den Grenzwinkel getroffen hast, prüfe hier.
Im ebenen Problem ist das Gebilde ein Keil, weil nur nach zwei Seiten ausweichen kann. Im Raum kann die Resultierende in jede Richtung kippen — dort entsteht ein Haftungskegel, ein Rotationskegel um die Normale mit dem Öffnungswinkel . Die Bedingung bleibt dieselbe: Liegt innerhalb, haftet der Körper.
Problemtypen und Lösungsweg
Haftungsaufgaben stellen fast immer eine von zwei Fragen: Hält das System bei gegebener Belastung? oder In welchen Grenzen darf eine Kraft liegen, damit es hält? Beide beantwortet derselbe Weg: freimachen, Gleichgewicht aufschreiben, die Haftbedingung anwenden.
Der Richtungssinn von darf dabei beliebig angenommen werden. Die Ungleichung liefert dann zwei Grenzfälle — deshalb ist das Ergebnis ein Bereich und keine einzelne Zahl.
Mitmach-Aufgabe: Stell die Seilkraft so ein, dass die Kiste gerade noch nicht hangaufwärts gezogen wird.
Wenn du die obere Grenze getroffen hast, prüfe hier.
Gleitreibung
Rutscht die Kiste, ändert sich der Charakter der Aufgabe. Aus der Ungleichung wird die Gleichung , und ist damit von vornherein bekannt — eine eingeprägte Kraft, keine Unbekannte mehr.
Dafür kommt eine neue Frage hinzu: die Richtung. Die Reibungskraft ist stets entgegen der (relativen) Geschwindigkeit gerichtet. Sie folgt also der Bewegung, nicht der Belastung — und kehrt sich um, wenn die Kiste statt hangabwärts hangaufwärts gezogen wird.
„Relativ" ist dabei wörtlich zu nehmen: Bewegt sich nicht der Körper, sondern die Unterlage — etwa ein Werkstück auf einem laufenden Band —, dann zählt die Geschwindigkeit des Körpers gegenüber der Unterlage, und die Reibungskraft treibt ihn an, statt ihn zu bremsen.
Worin unterscheidet sich die Rechnung, sobald der Körper rutscht?
Systeme mit mehreren Kontaktstellen
Interessant wird es, wenn ein Körper an mehreren Stellen anliegt. Die Leiter an der Hallenwand ist der Klassiker: Sie steht unter auf rauem Boden () und lehnt gegen eine glatte Wand. Eine Person mit der Gewichtskraft steht bei der Leiterlänge.
Weil die Wand glatt ist, überträgt sie nur eine Normalkraft — waagerecht. Am Boden muss diese waagerechte Kraft von der Haftung aufgenommen werden. Die Leiter rutscht also, sobald die Wand mehr drückt, als der Boden halten kann.
Mitmach-Aufgabe: Schieb die Person so weit hinauf, bis die Leiter gerade noch hält.
Wenn du den höchsten Punkt getroffen hast, prüfe hier.
In der Momentenbilanz steht auf beiden Seiten und fällt heraus. Ob die Leiter zwei oder neun Meter lang ist, spielt für das Rutschen also keine Rolle — nur der Winkel und die relative Position der Person zählen. Deshalb steht auf Leitern ein Anstellwinkel und keine Längenangabe.
Die Leiter wird steiler angestellt. Was folgt daraus?