Einführung Physiklabor

Maschinengenau rechnen — erst am Ende runden

Ein häufiger Fehler in der Auswertung von Laborversuchen: Zwischenergebnisse werden auf wenige Nachkommastellen gerundet, bevor sie in die nächste Berechnung einfließen. Dabei gehen bei jedem Rundungsschritt Informationen verloren, und die Rundungsfehler können sich aufaddieren — das Endergebnis weicht dann deutlich vom korrekten Wert ab.

TippBeispiel

Sie messen drei Längen und berechnen daraus eine Fläche:

• Falsch: Jede Länge einzeln auf 2 Stellen runden, dann multiplizieren — der Fehler im Ergebnis kann eine ganze Größenordnung betragen.
• Richtig: Alle Längen mit voller Genauigkeit in die Formel einsetzen, das Ergebnis am Ende passend runden.

Warum statistische Auswertung?

Wiederholt man eine Messung mehrfach, erhält man aufgrund zufälliger Fehler leicht unterschiedliche Werte. Ein einzelner Messwert ist daher wenig aussagekräftig. Die statistische Auswertung liefert zwei entscheidende Informationen: den besten Schätzwert für die gesuchte Größe und eine Angabe zur Unsicherheit dieses Schätzwerts.

Die vier Kennzahlen

i) Mittelwert — der beste Schätzwert für den wahren Wert. Je mehr Messungen, desto zuverlässiger:

$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$

ii) Abweichungen — zeigen, wie weit jeder Messwert vom Mittelwert entfernt liegt. Die Summe aller Abweichungen muss exakt Null ergeben (wichtige Rechenkontrolle!):

$$ \delta_i = x_i - \bar{x} \qquad \text{(Kontrolle: } \sum \delta_i = 0\text{)} $$

iii) Standardabweichung — ein Maß für die Streuung der Einzelmessungen. Sie beschreibt, wie stark die Messwerte typischerweise vom Mittelwert abweichen. Der Faktor \(\frac{1}{n-1}\) (statt \(\frac{1}{n}\)) korrigiert eine systematische Unterschätzung bei kleinen Stichproben:

$$ s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} $$

iv) Mittlerer Fehler des Mittelwerts — die eigentliche Messunsicherheit. Er gibt an, wie genau der Mittelwert den wahren Wert schätzt. Je mehr Messungen (\(n\)) durchgeführt werden, desto kleiner wird der mittlere Fehler — die Unsicherheit sinkt proportional zu \(\frac{1}{\sqrt{n}}\):

$$ \Delta x = \frac{s_x}{\sqrt{n}} $$

Ergebnis: Das Messergebnis wird immer als Mittelwert mit Unsicherheit angegeben:

$$ x = \bar{x} \pm \Delta x $$

Warum Fehlerfortpflanzung?

In Modul 3 haben Sie gelernt, wie man die Unsicherheit einer direkt gemessenen Größe bestimmt. Oft interessiert aber eine berechnete Größe, die von mehreren Messwerten abhängt — etwa eine Fläche aus Länge und Höhe, oder eine Geschwindigkeit aus Strecke und Zeit. Jeder einzelne Messwert bringt seine eigene Unsicherheit mit. Die Fehlerfortpflanzung beantwortet die zentrale Frage: Wie groß ist die Unsicherheit des Endergebnisses, wenn die Eingangsgrößen fehlerbehaftet sind?

Vorgehen in drei Schritten

Für eine zusammengesetzte Größe \(X = f(X_1, X_2, \ldots, X_k)\) wird die Unsicherheit in drei Schritten bestimmt. Voraussetzung: Jede Eingangsgröße wurde mehrfach gemessen und statistisch ausgewertet (Modul 3) — Sie kennen also bereits den Mittelwert \(\bar{x}_j\) und die Unsicherheit \(\Delta x_j\) jeder einzelnen Messgröße.

1. Bester Schätzwert: Die Mittelwerte der Einzelgrößen in die Formel einsetzen — das ergibt den besten Schätzwert für das Ergebnis
2. Partielle Ableitungen: Die Formel nach jeder fehlerbehafteten Variablen ableiten (alle anderen als Konstanten behandeln). Diese Ableitungen zeigen, welche Messgröße den größten Einfluss auf den Gesamtfehler hat.
3. Unsicherheit berechnen: Die partiellen Ableitungen (ausgewertet an den Mittelwerten) und die Einzelunsicherheiten in das Fehlerfortpflanzungsgesetz einsetzen

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Schritt 1 — Bester Schätzwert: Jede Eingangsgröße wurde mehrfach gemessen. Aus den Messreihen kennen Sie die Mittelwerte \(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots\) und die Unsicherheiten \(\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots\) (aus Modul 3). Den besten Schätzwert für das Ergebnis erhalten Sie, indem Sie die Mittelwerte in die Formel einsetzen:

$$ \bar{X} = f(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots, \bar{x}_k) $$

Schritt 2 — Partielle Ableitungen: Die Formel nach jeder Eingangsgröße ableiten. Die partiellen Ableitungen \(\frac{\partial f}{\partial x_j}\) wirken als Gewichtungsfaktoren — sie geben an, wie empfindlich das Ergebnis auf eine Änderung der jeweiligen Eingangsgröße reagiert:

$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}, \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}, \quad \ldots, \quad \frac{\partial f}{\partial x_k} $$

Schritt 3 — Unsicherheit berechnen: Je nachdem ob die Einzelfehler zufällig oder systematisch sind, gibt es zwei Varianten:

Statistischer Fehler — die Fehler sind zufällig und unabhängig, daher addieren sich die Beiträge quadratisch. Der Gesamtfehler wird kleiner als die Summe der Einzelbeiträge, weil sich zufällige Abweichungen teilweise kompensieren:

Systematischer Fehler — die Fehler wirken in dieselbe Richtung (worst case), die Beträge addieren sich direkt. Dies ergibt die maximal mögliche Abweichung:

Prinzip

Häufig besteht zwischen zwei Messgrößen ein linearer Zusammenhang: \(y = m \cdot x + b\). Durch Messfehler liegen die Messpunkte nicht exakt auf einer Geraden. Die lineare Regression bestimmt diejenige Gerade, die die Summe der quadratischen Abweichungen aller Messpunkte minimiert.

Güte der Anpassung

Der Regressionskoeffizient \(R\) liegt im Bereich \(-1 \le R \le 1\). Je näher \(R\) an 1 oder \(-1\) liegt, desto besser beschreibt eine Gerade die Messdaten. \(R^2\) nahe 1 bedeutet eine sehr gute lineare Anpassung.

Regressionsparameter

Steigung — gibt an, wie stark sich \(y\) pro Einheit \(x\) ändert:

Achsenabschnitt — der \(y\)-Wert bei \(x = 0\):

Bestimmtheitsmaß — beschreibt, wie gut die Gerade die Messdaten abbildet. \(R^2 = 1\) bedeutet perfekte lineare Übereinstimmung:

Unsicherheiten der Regressionsparameter

Für die zugehörigen Fehler der Regressionsparameter gilt:

Unsicherheit der Steigung \(\Delta m\):

Unsicherheit des Achsenabschnitts \(\Delta b\):

Modulübersicht

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