V05 - Federpendel (dynamisch)

Zieht man an einer Schraubenfeder, zieht sie zurück — und zwar umso stärker, je weiter sie gedehnt ist. Robert Hooke fasste das 1676 in einen Satz, der bis heute trägt: Die Kraft ist der Auslenkung proportional.

Der Proportionalitätsfaktor C heißt Federkonstante und wird in N/m gemessen. Ihn zu bestimmen ist das Ziel dieses Versuchsteils — hier über die Zeit statt über den Weg.

Abbildung: Hängt eine Masse an der Feder, stellt sich eine neue Ruhelage ein. Von ihr aus wird im Folgenden gemessen.

Das ist der entscheidende Schritt: In der Ruhelage halten sich Gewichtskraft und Federkraft bereits die Waage. Lenkt man die Masse von dort aus, bleibt nur die zusätzliche Federkraft übrig — und die zeigt immer zur Ruhelage zurück. Die Erdanziehung verschiebt nur die Ruhelage, sie treibt die Schwingung nicht an.

Schreibweise

Drei Massen, zwei Buchstaben — eine Falle

In diesem Modul ist M die angehängte Masse und m_F die Masse der Feder.

Das kleine m bleibt der Steigung der Regressionsgeraden vorbehalten — so heißt sie traditionell und so steht sie im Werkzeug. Die Messspalte der angehängten Masse heißt am Prüfstand aus historischen Gründen trotzdem „m / kg“.

Zieht man die Masse aus der Ruhelage und lässt los, schwingt sie. Klicken Sie sich Schritt für Schritt durch; die Zeichnung hebt jeweils hervor, worum es gerade geht.

Bemerkenswert

Die Erdbeschleunigung kommt nicht vor

In der Formel steht kein g. Ein Federpendel schwingt auf dem Mond genauso schnell wie auf der Erde — die Ruhelage liegt dort nur woanders.

Die Herleitung in Kapitel 2 tut so, als sei die Feder masselos. Ist sie nicht — und ihre Masse bewegt sich mit. Aber nicht überall gleich: Die Windungen dicht an der Aufhängung bleiben fast stehen, die untersten machen den vollen Weg der Masse mit.

Abbildung: Die Pfeile zeigen, wie weit sich die Windungen bewegen — von null oben bis zum vollen Ausschlag unten.

Rechnet man die kinetische Energie aller Windungen zusammen, verhält sich die Feder so, als hinge ein Drittel ihrer Masse zusätzlich an ihrem Ende. Die Schwingungsdauer lautet damit:

Für schwere Lasten fällt das kaum ins Gewicht, für leichte sehr wohl. Und es hat eine hübsche Folge: Wer eine Messreihe über mehrere Massen aufnimmt, kann daraus nicht nur die Federkonstante gewinnen, sondern auch die Masse der Feder — ohne sie je auf eine Waage zu legen. Wie, das ist die letzte Leitfrage dieses Versuchsteils.

Jede Messung streut. Eine Gerade lässt sich aus streuenden Punkten besonders robust und nachvollziehbar bestimmen — eine gekrümmte Kurve dagegen nur schwer. Deshalb bringt man einen nichtlinearen Zusammenhang durch geschicktes Auftragen in eine geradlinige Form. Die gesuchte Größe steckt danach in der Steigung oder im Achsenabschnitt der Geraden.

Die Formel aus Kapitel 3 ist in dieser Form nicht linear: Die Schwingungsdauer steht unter einer Wurzel. Die Beispielmessreihe des Prüfstands zeigt es:

Abbildung: Schwingungsdauer über der angehängten Masse M, gerechnet mit Beispielwerten für Feder und Federmasse — Ihr Prüfstand würfelt je Sitzung eigene. Die Kurve steigt wie eine Wurzel, erst steil und dann immer flacher; eine Gerade lässt sich nirgends anlegen.

Vor dem Auftragen muss die Formel deshalb umgeformt werden — die Zusatzfragen nennen das „ein wenig mit den Formeln jonglieren".

Die lineare Regression bestimmt diejenige Gerade y = m·x + c, die am besten zu Ihren Messpunkten passt. Steigung m und Achsenabschnitt c haben aber nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn Sie die Achsen aus der Grundgleichung des Versuchs ableiten. Genau diese Wahl treffen Sie selbst.

Ein Wort zur Benennung: Was die Zusatzfragen und die Anleitung Ordinatenabschnitt nennen, heißt hier und im Auswertewerkzeug c — gemeint ist beides Mal der Wert der Geraden an der Stelle x = 0.

Achten Sie auf den Achsenabschnitt: In ihm steckt die mitschwingende Federmasse aus Kapitel 3. Er ist hier also kein Störterm, sondern ein zweites Messergebnis — ein Achsenabschnitt nahe null wäre kein gutes Zeichen, sondern ein Hinweis auf einen Fehler.

Hängen Sie nacheinander die vorgesehenen Massen an, lenken Sie die Feder aus und messen Sie die Schwingungsdauer — über viele Perioden, damit der Stoppfehler klein bleibt.

Im Anschluss daran führt Sie ein Knopf direkt zu Station 8, den Leitfragen.

Zeichnung

Das schwingende Pendel, noch einmal

Aus den Kapiteln 2 und 3 kennen Sie die Zeichnung. Jetzt fehlen die Beschriftungen: Ziehen Sie sie an die richtige Stelle — mit der Maus, per Fingertipp oder indem Sie erst einen Baustein und dann ein Feld antippen.

Ihre Antworten

Fragen zur dynamischen Bestimmung

1. Welche Größen müssen Sie in einem Diagramm gegeneinander auftragen, um eine lineare Regression durchführen zu können? (Achtung: hier müssen Sie ein wenig mit den Formeln jonglieren.)

2. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der gesuchten Federkonstanten und den ermittelten Regressionsparametern, also Steigung und Achsenabschnitt?

3. Einer der beiden Regressionsparameter wird für die Federkonstante gar nicht gebraucht — mit ihm lässt sich aber die Masse der Feder bestimmen. Wie beeinflusst die Federmasse die Schwingungsdauer, und wie kommt man über die Regression an sie heran?

Ihre Antworten werden lokal gespeichert und beim Export in Ihr Protokoll der Vorbereitung übernommen. Es gibt keine automatische Bewertung — diskutieren Sie Ihre Überlegungen im Labor und im Kolloquium.

Ihr Ergebnis

Die gesuchten Größen berechnen

Zum Schluss die Auswertung zu Ende führen: Geben Sie für jede gesuchte Größe zuerst die Beziehung symbolisch an und rechnen Sie sie dann mit Ihren eigenen Regressionsparametern aus.

1. Federkonstante C

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   N/m

2. Federmasse m_F

   Beziehung, symbolisch Zahlenwert aus Ihren Messwerten
   kg

Auch hier gibt es keine automatische Bewertung. Beides geht in Ihr Protokoll der Vorbereitung ein — damit am Ende nicht nur der Weg, sondern auch das Ergebnis dort steht.