Statik · Gesamtübung
Prüfungstraining: Diese Aufgaben stehen über den sieben Kapiteln der Serie und haben deshalb keine eigene Theorieseite. Was du brauchst, steht in den Fachmodulen — hier wird es zusammengesetzt.
Zu den Fachmodulen →Sechs Aufgaben in drei Stufen — leicht, mittel, schwer. Jede hat gestufte Tipps: Der erste nennt das Vorgehen, der zweite die anzusetzende Bilanz, der dritte den entscheidenden Zwischenwert. Die Lösung steht in keinem Tipp.
Rechne jede Aufgabe zuerst auf dem Blatt. Wenn du irgendwo hängst, hilft das zugehörige Fachmodul weiter — der Link steht unter jeder Aufgabe.
Aufgabe 1 · Umlenkrolle am Hallenkran
Ein Seil trägt die Last und läuft über eine reibungsfreie Umlenkrolle. Es verlässt die Rolle unter dem Winkel gegen die Senkrechte nach oben. Gesucht ist die Kraft, mit der die Rolle ihre Achse belastet.
Die Momentenbilanz um die Rollenachse enthält nur die beiden Seilkräfte, beide mit dem Hebelarm : . Der Radius kürzt sich heraus, also .
Das gilt für jeden Umlenkwinkel — eine reibungsfreie Rolle ändert nur die Richtung einer Seilkraft, nie ihren Betrag.
Betrag der Achskraft, symbolisch in und .
Erlaubte Symbole: G, gamma (in Grad)
Schreibhilfe: sin(gamma/2), Klammern erlaubt.
Die beiden Seilkräfte greifen im Rollenmittelpunkt an — eine zentrale Kräftegruppe. Der eine Strang zieht senkrecht nach unten, der andere unter gegen die Senkrechte:
Probe: Bei läuft das Seil gerade durch, beide Kräfte heben sich auf — und die Formel liefert null.
Ihre Wirkungslinie halbiert den Winkel zwischen den beiden Seilsträngen — sie zeigt unter der Waagerechten. Bei zwei gleich großen Kräften liegt die Resultierende immer auf der Winkelhalbierenden.
Schneide die Rolle frei. Auf sie wirken die beiden Seilkräfte und die Achskraft — eine zentrale Kräftegruppe.
Für die Beträge der Seilkräfte hilft die Momentenbilanz um die Achse: Beide haben denselben Hebelarm.
Zerlege beide Seilkräfte in waagerechte und senkrechte Anteile und addiere komponentenweise, bevor du den Betrag bildest.
Fazit: die Rolle ändert nur die Richtung
Weil die reibungsfreie Rolle den Betrag der Seilkraft nicht ändert, ist die Achskraft allein eine Frage der Geometrie. Deshalb steht in Katalogen von Umlenkrollen der zulässige Umlenkwinkel und nicht die zulässige Achskraft.
Vertiefung: Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Aufgabe 2 · Schwerpunkt eines T-Profils
Ein T-Profil besteht aus einem Gurt und einem Steg . Der Gurt sitzt oben auf dem Steg. Die Koordinate wird von der Stegunterkante gezählt.
Beide Teilflächen sind zufällig gleich groß — das macht die spätere Rechnung übersichtlich, ändert aber nichts am Verfahren.
Der Gurt beginnt an der Stegoberkante bei 100 mm; sein eigener Schwerpunkt liegt in halber Gurtdicke:
Gesamtschwerpunkt, symbolisch im Tabellenverfahren.
Erlaubte Symbole: A1, A2, y1, y2
Schreibhilfe: Bruch mit /, Klammern erlaubt.
Die Zähler sind die statischen Momente der Teilflächen (Flächenmomente erster Ordnung); der Nenner ist die Gesamtfläche.
Und braucht gar keine Rechnung: Beide Teilflächen liegen symmetrisch zur senkrechten Mittellinie, also liegt der Schwerpunkt dort — 50 mm vom linken Gurtrand.
Zerlege das Profil in zwei Rechtecke und lege eine Tabelle mit und an.
Prüfe zuerst, ob eine Symmetrieachse eine der beiden Koordinaten ohne Rechnung liefert.
Die Summe der statischen Momente beträgt 320 000 mm³ — teile sie durch die Gesamtfläche.
Fazit: Symmetrie zuerst
Wer vor dem Rechnen nach Symmetrieachsen sucht, halbiert bei solchen Profilen die Arbeit. Nur die Koordinate quer zur Symmetrieachse muss überhaupt bestimmt werden.
Vertiefung: Schwerpunkt
Aufgabe 3 · Träger unter Streckenlast und Einzelmoment
Ein Träger der Länge liegt links auf einem Festlager , rechts auf einem Loslager . Über die linke Hälfte (0 bis 2,0 m) wirkt eine Streckenlast ; bei greift zusätzlich ein Einzelmoment im Uhrzeigersinn an.
, ihre Wirkungslinie liegt in der Mitte der belasteten Länge, also bei .
Für die Lagerreaktionen darf man so zusammenfassen. Für Schnittgrößen wäre das erst nach dem Schnitt erlaubt.
Lagerkraft , symbolisch aus der Momentenbilanz um .
Erlaubte Symbole: Rq, a (Abstand von zu ), M0, l
Schreibhilfe: Bruch mit /, Klammern erlaubt.
Das Einzelmoment geht ohne Hebelarm ein — es ist nicht an eine Wirkungslinie gebunden und wirkt an jeder Stelle des Trägers gleich.
Ohne das Moment kämen 3,0 kN heraus — die Differenz von 2,5 kN ist genau .
Probe mit der Momentenbilanz um :
Ersetze die Streckenlast durch ihre Resultierende und mache den Träger frei.
Nimm die Momentenbilanz um — dort fällt die Lagerkraft heraus.
Das Einzelmoment bekommt keinen Hebelarm; es steht als eigener Summand in der Momentenbilanz. Sein Drehsinn entscheidet über das Vorzeichen.
Fazit: das Moment hat keine Wirkungslinie
Ein Kräftepaar ist nicht an eine Stelle gebunden. In der Momentenbilanz erscheint es deshalb einfach als Zahl — ohne Hebelarm, dafür mit Drehsinn. Wer es wie eine Kraft behandelt und einen Abstand dranmultipliziert, bekommt ein falsches Ergebnis.
Vertiefung: Lagerreaktionen · Allgemeine Kraftsysteme
Aufgabe 4 · Fachwerk mit Ritterschnitt
Ein Parallelträger der Spannweite besteht aus drei Feldern à und hat die Höhe . Untergurtknoten liegen bei 0, 3, 6 und 9 m, Obergurtknoten bei 3 und 6 m. Neben den Pfosten und den beiden Endschrägen gibt es eine innere Diagonale zwischen und . Die Last wirkt im Knoten .
Wie viele Nullstäbe hat dieses Fachwerk?
Am Knoten greift keine äußere Kraft an, drei Stäbe sind angeschlossen, und zwei davon (die beiden Untergurtstücke) liegen in gleicher Richtung. Nach der dritten Regel ist der Pfosten ein Nullstab.
An keinem anderen Knoten greift eine der drei Regeln: trägt vier Stäbe und die Last, vier Stäbe, drei ohne kollineares Paar.
, entsprechend .
Der Schnitt im zweiten Feld trennt Obergurt, Diagonale und Untergurt. Ordne jeder gesuchten Kraft ihren Bezugspunkt zu.
Der Bezugspunkt gehört in den Schnittpunkt der beiden anderen geschnittenen Stäbe. Untergurt und Diagonale treffen sich in , Obergurt und Diagonale in .
Die Last steht rechts vom Schnitt und kommt in dieser Bilanz nicht vor. Negativ heißt Druck.
Probe über die waagerechte Bilanz: Mit der Diagonalkraft und ihrem Richtungskosinus gilt
Suche zuerst die Nullstäbe — jeder erkannte ist eine Unbekannte weniger.
Rechne am linken Schnittteil: Dort steht nur die Auflagerkraft, die Last liegt rechts vom Schnitt.
Der Hebelarm der Gurtkräfte ist die Trägerhöhe , nicht ihr Abstand vom Schnitt.
Fazit: erst streichen, dann gezielt schneiden
Nullstabregeln und Ritterschnitt greifen ineinander: Die Regeln nehmen Unbekannte weg, der Schnitt holt gezielt die Stabkräfte, die man wirklich braucht. Für dieses Fachwerk war kein einziger Knoten zu rechnen.
Vertiefung: Fachwerke
Aufgabe 5 · Gerberträger
Ein Gerberträger liegt auf drei Lagern: bei 0 (Festlager), bei 6,0 m und bei 11,0 m (beide Loslager). Bei sitzt ein Momentengelenk . Über 0 bis 6,0 m wirkt , bei außerdem die Einzellast .
Der Nebenträger ist für sich statisch bestimmt: 3,0 m lang, mit der Last bei 2,0 m von .
Das ist der ganze Trick des Gerberträgers: Das Gelenk liefert die Zusatzgleichung und macht das System rechenbar.
Auf den Hauptträger wirkt die Gelenkkraft als Einzellast von 3,0 kN am Kragarmende bei 8,0 m:
Probe am erstarrten Gesamtsystem: und
Zeichne die Querkraftlinie über die ganze Länge. Setze Punkte durch Antippen, ziehe sie zurecht; ein Doppeltipp löscht einen Punkt.
, dann linear fallend bis ; am Lager ein Sprung um auf .
Zwischen 6,0 und 10,0 m wirkt keine Last, also bleibt — auch über das Gelenk hinweg, denn ein Momentengelenk überträgt Querkraft sehr wohl. Bei 10,0 m springt um auf und bleibt dort bis .
: Die Querkraft wird bei null.
Zur Probe: Im Gelenk muss sein —
Trenne am Gelenk auf und beginne mit dem Teilträger, der für sich statisch bestimmt ist.
Die Gelenkkraft wirkt auf den anderen Teilträger als Einzellast — mit umgekehrtem Richtungssinn.
Für die Querkraftlinie: Sie beginnt mit und endet mit . An jedem Lager springt sie um dessen Kraft nach oben, an jeder Last nach unten.
Fazit: das Gelenk liefert die fehlende Gleichung
Drei Lager bedeuten drei unbekannte Reaktionen — eine mehr, als die drei Gleichgewichtsbedingungen hergeben. Das Momentengelenk gleicht das aus: ist die vierte Gleichung.
Deshalb baut man Gerberträger überhaupt: Sie überspannen mehrere Felder und bleiben trotzdem statisch bestimmt — Setzungen eines Lagers erzeugen keine Zwängungen.
Vertiefung: Lagerreaktionen · Balken
Aufgabe 6 · Klotz am schrägen Seil
Ein Klotz mit liegt auf einer um geneigten Ebene mit . Ein Seil hält ihn und zieht unter dem Winkel gegen die Ebene nach oben. In welchen Grenzen muss die Seilkraft liegen?
Baue zuerst das Freikörperbild des Klotzes.
Vier Kräfte: senkrecht nach unten, normal zur Ebene, längs der Ebene und die Seilkraft unter gegen die Ebene.
Der Richtungssinn von ist hier hangaufwärts angenommen — das ist der Fall, in dem der Klotz abzurutschen droht.
Normalkraft, symbolisch.
Erlaubte Symbole: G, S, alpha, delta
Schreibhilfe: sin(delta), cos(alpha), Klammern erlaubt.
Weil das Seil von der Ebene weg zieht, verringert es die Normalkraft — und damit auch die Grenzhaftkraft. Das ist der Unterschied zur waagerecht drückenden Kraft, bei der wächst.
Der Klotz droht abwärts zu rutschen, also und :
Jetzt droht er aufwärts zu rutschen, kehrt sich um:
Nur im Nenner wechselt das Vorzeichen — dort steckt der Einfluss des Seilwinkels auf die Normalkraft.
Lege die Achsen längs und normal zur Ebene, nicht waagerecht und senkrecht — dann hat nur zwei Komponenten.
Die Seilkraft steht in beiden Bilanzen: mit längs und mit normal.
Nach dem Einsetzen der Haftbedingung steht auf beiden Seiten. Sammle die -Glieder, bevor du teilst.
Fazit: der Seilwinkel entscheidet mit
Ein Seil, das von der Ebene weg zieht, nimmt Last vom Kontakt — und schwächt damit genau die Haftung, auf die man sich verlässt. Zieht man dagegen flach an der Ebene entlang, bleibt die volle Normalkraft erhalten.
Deshalb steht bei Zurrgurten im Lastentransport ein zulässiger Zurrwinkel: Er entscheidet darüber, wie viel Vorspannung überhaupt in Haltekraft umgesetzt wird.
Vertiefung: Haftung und Reibung
Protokoll
Der Bearbeitungsstand aller sechs Aufgaben wird als PDF-Protokoll mit Verifikations-Token exportiert — prüfbar über die Protokoll-Verifizierung der Plattform.
| Aufgabe | Stufe | Status |
|---|---|---|
| 1 · Umlenkrolle | LEICHT | Offen |
| 2 · T-Profil | LEICHT | Offen |
| 3 · Träger mit Moment | MITTEL | Offen |
| 4 · Fachwerk | MITTEL | Offen |
| 5 · Gerberträger | SCHWER | Offen |
| 6 · Haftung | SCHWER | Offen |